I. — FONCTIONS D UNE VARIABLB

quelquefois de la notalion D„y ou D„/{x), due à Cauchy, pour représenter la dérivée d'ordre n. Nous verrons un peu plus loin la nolalioD de Leibniz.

7. Théorème de RoUe. — L'emploi des dérivées dans l'étude des équations repose sur la proposition suivante, connue sous le nom de théorème de Rolle :

Soient a et b deux racines de l'équation f{x) = o. Si la fonction f{x) est continue et admet une dérivée dans l*interialie (a, 6), Inéquation f'{x) = o a au moins une racine comprise entre a et b.

En effet, la fonction /{x) est nulle par hypothèse pour x = a et pour x = b.Si elle est constamment nulle dans l'intervalle (a, b), il en est de raéme de sa dérivée et le théorème est évident. Si la fonction /(x) n'est pas constamment nulle, elle prendra soit des valeurs positives, soit des valeurs négatives. Supposons, par exemple, qu'elle prenne des valeurs positives; elle prendra alors une valeur maximum M pour une valeur X| de x comprise entre a et b (n° 3; théorème II). Le rapport

OÙ l'on suppose A > o, est nécessairement négatif, à moins d'être nul, et la limite de ce rapport, c'est-à-dire /'(j:,), ne peut être un nombre positif; on a donc /'(a:») ^o. En considérant de même /'(xi) comme la limite du rapport

où h est positif, t)n verra de la même façon que l'on doit avoir /'(X|)^o. La comparaison de ces deux résultats prouve que l'on a nécessairement /'(j^i) = o.

8. Formule des accroissements unis. — On déduit sans peine de ce théorème l'importante formule des accroissements finis :

Soit f{x) une fonction continue ayant une dérivée dans

lO CHAPITRB 1. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

l'interçalle (a, b); on a

c désignant un nombre compris entre a et b.

Pour établir cette formule, considérons la fonction auxiliaire

qui, d'après les hypothèses faites sury(a:), est continue et admet une dérivée dans Tintervalle (o, b — a). Cette fonction s'annule évidemment pour a: = o et pour ^ = 6 — a; sa dérivée ^'{x) ou

doit donc s'annuler pour une valeur de x comprise entre o et 6 — a. La valeur correspondante de a 4-^ est comprise entre a et 6, et l'on a bien l'égalité qu'il s'agissait de démontrer. On peut remarquer que la démonstration ne suppose pas la continuité de la dérivée /'(j;).

De cette formule on déduit que, si la dérivée f*{x) est nulle dans rinlervalle (a, 6), la fonction f{x) conserve une valeur constante dans cet intervalle; car l'application de la formule à deux valeurs^!, x^j appartenant à l'intervalle (a, 6), conduit à la relation/(J72) =/(^«)- Il ^^ résulte que, si deux fonctions admettent la même dérivée, leur différence est constante, et la réciproque est évidente. Quand on connaît une fonction ¥{x) ayant pour dérivée une fonction donnée f{x)^ on obtient toutes les autres fonctions ayant la même dérivée en ajoutant à F(^) une cons tante arbitraire ( * ).

(*) On applique quelquefois ce théorème sans avoir égard à toutes les conditions de l'énoncé. Soient, par exemple, /(a;) et f (J?) deux fonctions continues, admettant des dérivées f'{x)^ <p'(^)» dans un intervalle (a, b). Si, entre ces quatre fonctions, on a la relation /'{x)^{x) —/{x)^' {x) — o, on en conclut

que la dérivée de la fonction ^, ou / (^)y(^) ---/(^)? (^), ^^^ nyii^ ^^^ ^^

suite que le rapport — est constant dans Tintervalle (a, b). Mais la conclusion

n'est absolument légitime que si la fonction ^{x) ne s'annule pas dans l'intervalle (a, 6). Supposons, pour fixer les idées, que (p{x) s'annule, ainsi que 9' (a?), pour une valeur c de ar comprise entre a et b. Une fonction /{x) égale à Ci«p(ar)