PONCTIONS d'une VARIABLE. II
La formule (i) est susceptible d*uiie înlerprélalion géométrique simple. Représentons-nous, en effet, Tare de courbe AMB qui figure la marche de la fonction y =zf{^x) dans Tinlervalle (a, b)\
A n*^""^ est le coefficient angulaire de la corde AB, tandis
quey"'(c) est le coefficient angulaire de la tangente en un point C d^abscisse c de l'arc AMB. La formule (i) exprime donc quV/ existe sur rare AMB un point G où la tangente est parallèle à la corde AB.
Lorsque la dérivée /'(j:) est continue, si Ton fait tendre a et b vers une limite commune Xq, suivant une loi quelconque, le nombre c, compris entre a et b, tend aussi vers x©, et la formule (i) nous montre que le rapport
a pour limite /'(xo). Voici quelle est l'interprétation géométrique : sur la courbe ^=/( a:), considérons le point M d'abscisse x^ et
les deux points A et B d'abscisses a et 6. Le rapport ^ — ,-- '^
est égal au coefficient angulaire de la corde AB, tandis que/'(ro)
représente le coefficient angulaire de la tangente au point M. On
voit donc que, lorsque les deux points A et B se rapprochent
indéfiniment du point M suivant une loi quelconque, la sécante AB
a pour limite la tangente au point M.
Il n'en est plus de même, en général, lorsque la dérivée /'(x)
î n'est pas continue. Par exemple, si l'on prend sur la courbe jk = ^^
deux points infiniment voisins de l'origine, de part et d'autre de
l'axe Oy, il est évident sur la figure que la direction de la droite
qui joint ces deux points reste absolument indéterminée lorsqu'ils
se rapprochent l'un et l'autre de l'origine.
9. Généralisation de la formule. — On a indiqué diverses généralisations de la formule des accroissements finis. La suivante est due à
entre a et c, et à Cj?( jr) entre c et b, C, et Cj étant deux constantes difTérentes, est contioae et admet une dérivée dans l'intervalle (a, 6), et l'on a bien
pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle. L'interprétation géométrique est facile.
12 CHAPITRE I. — DERIVEES ET DIFFERENTIELLES.
M. Slieltjes {Bulletin de la Société Mathématique^ t. XVI, p. loo). Considérons, pour Gxer les idées, trois fonctions y (a?), g{x)^ h{x)i continues et admettant des dérivées du premier et du second ordre, et soient a, b, c trois valeurs particulières de la variable (a < 6 < c). Définissons le nombre A par Tégalité
ff{a) h(a)
ff(b) h(b)
fie)
et considérons la fonction auxiliaire
/(a) g(a) h{a) f{b) g{b) h(b) /(x) ff(x) h{x)
cette fonction est nulle pour x — b ^\. pour ar = c, donc sa dérivée doit s'annuler pour une valeur Ç comprise entre b et c, ce qui nous donne
Ha)
1 b AS
o I aÇ
Si Ton remplace b par x dans cette relation, on a une fonction qui est nulle pour a? = a et pour x = b. Sa dérivée est donc nulle pour une valeur ^ comprise entre a et 6, ce qui nous donne une nouvelle relation
Ha)
Enfîn,si l'on remplace Ç par ;r dans le premier membre de celte égalité, on a encore une fonction de x qui s'annule pour a? = J et pour a? = Ç; sa dérivée est donc nulle pour une valeur yj comprise entre { et Ç et par conséquent entre a et c. On a donc pour A l'expression suivante
gW
fCi)
h' Ci)
fC,)
ç étant compris entre a et b, et yj entre a et c.
La démonstration ne suppose pas la continuité des dérivées secondes /'(x), s'{x)y A'(ar); si ces dérivées secondes sont continues, et si les valeurs a, 6, c tendent vers une même valeur limite aro, on a, à la limite.
lim A
/(aro) g{xQ) h(xo) f'i^o) g'{xo) h'{xo) fixo) g\x,) h\x,)
