POINTS SINGL'LIEIIS. — MAXIMA ET IHNIMA. l

duquel la fonction et ses dérivées sont continues, on doit avoir

ce qui montre que le plan tangent à la surface S au point Mo de coordonnées (^07 J'oi ^0) doit être parallèle au pian des xy. Pour que ce point corresponde à un maximum ou à un minimum, il faut en outre que, dans le voisinage du point Mo, la surface S soit tout entière d'un même côté du plan tangent, et Ton est ainsi ramené à l'étude d'une surface par rapport à un plan tangent dans les environs du point de contact.

Imaginons que Ton ait transporté l'origine au point de contact; le plan langent étant le plan des xy^ l'équation de la surface est de la forme

(14) >8 = ax^-T- nbxy -4- cy^-^ n.x'^ — S^x^y -^ 3^^^*- 0^',

«, 6, c étant des constantes et a, ^, y, 0 des fonctions de x, y qui restent finies lorsque x ei y tendent vers zéro. Cette équation est identique, au fond, à l'équation (19) où l'on aurait remplacé Xi^ ^^y% par zéro, h ei k par x ely respectivement.

Pour savoir si la surface S est située tout entière d'un même côté du plan des xy dans le voisinage de l'origine, il suffit d'étudier l'intersection de cette surface par le plan des xy. Or cette intersection est représentée par l'équation

^25) ax^-^ ^bxy -î- cy^-h txx^-^. . ,-=1 Of

et présente un point double à l'origine des coordonnées. Si b- — ac est négatif, Torigine est un point double isolé (n' o3) et Téqualion (25) n'admet pas d'autre solution que x =y ^^ o, lorsque le point (x, y) reste à Tintérieur d'un cercle C de rayon assez petit r, décrit de l'origine comme centre. Le premier membre de l'équation (25) conserve un signe constant lorsque le point (x, y) se meut à l'intérieur de ce cercle. Tous les points de la surface S qui se projettent à l'intérieur du cercle C sont donc situés d'un même côté du plan des j:^, sauf l'origine. C'est le cas où lafonction/(x,^) présente un maximum ou un minimum. La portion de la surface S voisine de l'origine est analogue à une portion de sphère ou d'ellipsoïde.

r36 CHAPiTRB m. — formule de taylor, etc.

Si b'^ — ac V^ o, rinlerseclion de la surface S par le plan langent présente deux branches de courbe distinctes C|, Ca, passant par Torigine; les tangentes à ces deux branches de courbe à rorigine sont représentées par Téquation

ax*-î- 'ibxy -^ cy"^ — o.

Imaginons un point (x, y) mobile dans le voisinage de l'origine ; lorsque ce point traverse une des branches de courbe C|, C2, le premier membre de Téquation (25) change de signe en s'annulant. On a donc, en attribuant à chaque région du plan voisine de l'origine le signe du premier membre de l'équation (26), une disposi-

lion analogue à celle de \^ fig, ^. Parmi les points de la surface qui se projettent sur le plan des xy à l'intérieur d'un cercle ayant pour centre l'origine, il y en a toujours au-dessus du plan des xy et d'autres au-dessous, quelque petit que soit le rayon de ce cercle. La surface est disposée par rapport à son plan tangent comme un hyperboloïde à une nappe ou un paraboloïdc hyperbolique. La fonction /{x^y) n'est ni maximum ni minimum pour l'origine. Le cas où b^ — ac^^o est précisément le cas oii la courbe d'intersection de la surface par son plan tangent présente un point de rebroussement à l'origine, cas dont nous avons réservé l'étude. Si l'intersection se compose de deux branches distinctes passant par l'origine, il n'y aura ni maximum ni minimum, car la surface traverse encore son plan tangent. Mais si l'origine est un point double isolé, ou si l'intersection se compose de deux branches confondues, la fonction y*(^, y) sera maximum ou minimum.

58. Pour reconnaître dans lequel des deux cas on se trouve, il faut tenir compte des valeurs des dérivées du troisième ordre et du quatrième ordre,