II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIM A ET MINIMA. l

Pour qu'il y ait maximum ou minimum pour x = Xq-, y=yoy il faut et il suffit que la différence A conserve un signe constant lorsque le point (xq -f- A, ^o H- A) reste compris à l'intérieur d'un carré assez pelil ayant pour cenlre le point (xq, y©)- Cette différence A conservera donc aussi un signe constant lorsque le point (x^-h A, yo-4- A) restera à Tintérieur d'un cercle de rayon assez pelit de cenlre (^oj y©)) et inversement; car on peut remplacer un carré par le cercle inscrit et réciproquement. Soit donc C un cercle de rayon r décrit du point (xq, yo) comme centre; on obtient tous les points intérieurs à ce cercle en posant

h = p cosOy X: = psin^,

et faisant varier «p de o à 2:1, et p de — /• à 4- r. On pourrait même se contenter de donner à p des valeurs positives, mais il vaut mieux, pour la suite, ne pas introduire celle restriction. En faisant cette substitution dans A, il vient

A = — (A cos*9 -+- aB sino coso -h C sin*o) -4- ^ L,

en posant

L étant une fonction dont il est inutile d'écrire l'expression développée, mais qui conserve une valeur finie dans le voisinage du point (rc^^o)- Cela posé, nous avons plusieurs cas à distinguer, suivant le signe de B^ — AC.

Premier cas, — Soit B^ — AC>o. L'équation

A cos*ç -^ aB sino coso -h C sin*^ — o

admet deux racines réelles en tang'^, et le premier membre est la différence de deux carrés, de sorte que Ton peut écrire

A = — [a(a cos<p H- b sincp)* — p(a'cos cp -i- ^'sino)*] -\- -- L,

où

a > o, P > o, ab' — ba! /- o.

Si Ton attribue à l'angle ^ une valeur telle que l'on ait

acoscp -f- 6 sincp = o,

l34 CHAPITRE m. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

A sera négatif pour les valeurs infinimeDt petites de p ; au contraire, si l'on prend pour cp un angle tel quea'cos<p 4- è'sincp = o, A sera positif pour les valeurs infiniment petites de p. Il est donc impossible de trouver un nombre r tel que la différence A conserve un signe constant lorsque la valeur absolue de p est inférieure à r, quel que soit Tangle ç. La fonction /(or, ^) n'est ni maximum, ni minimum, pour x = Xq, y = j^'o-

Deuxième cas, — Soit B^ — AC <C o. Le trinôme

A cos*ç -h aB cos^ sin<p -{- C sin*©

ne s'annule pas lorsque o varie de o à 2';:. Soit m une limite inférieure de sa valeur absolue; soit, d'autre part, H une limite supérieure de la valeur absolue de la fonction L dans un certain cercle de rayon R et de centre (a?o, ^o)- Désignons par r un nombre

positif inférieur à R et à -n-; à l'intérieur du cercle de rayon r, la

différence A aura le même signe que le coefficient de p*-*, c'està-dire que A ou C. La fonction f{x^ y) est donc maximum ou minimum pour x = Xq^ y =yo.

En résumé, si au point Xq, y^^ on a

\àx,ôyj dxl dyl ^ ""^ il n'y a ni maximum ni minimum. Si l'on a

il y a maximum ou minimum, suivant le signe des deux déri>

vées-r-T' :r4* Il y a maximum, si ces dérivées sont négatives, mini-

àxl àyl *^ o '

mum si elles sont positives.

57. Étude du cas ambigu. — Le cas où B^ — AC = o échappe à la discussion précédente. La Géométrie montre bien à quoi tient la difficulté du problème dans ce cas spécial. Soit S la surface représentée par l'équation z z=f(^x,y)\ si la fonction /(a:,j^) est maximum ou minimum en un point (j:©) J^o)> dans le voisinage