POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MINIMA. l

Deuxième cas, — Soit 5* — r/ > o. Les racines C| et Cj de A(c) — o sont l'une positive, Tautre négative, et les points Ai et Aj sont de part et d'autre de l'origine. Si le point A n'est pas compris entre A| et Aj, A(c) est positif, et il n'y a ni maximum ni minimum. Si le point A est compris entre A| et Aj, A(c) est négatif, i — cr est positif et, par suite, la dislance OA est minimum.

Troisième cas, — Soit s^— rt — o. On a \(c) — (r -h t)(c — Ci), On voit comme tout à l'heure que la distance AO est minimum si le point A est du même côté que l'origine par rapport au point Ai de coordonnées (o, o, Cl), et qu'il n'y a ni maximum ni minimum si le point A] est entre le point A et l'origine.

Les points Aj et Aj jouent un rôle fondamental dans l'étude de la courbure; ce sont les centres de courbure principaux de la surface S au point 0.

6i. Mazima et minima des fonctions implicites. — Il arrive souvent que l'on a à chercher le maximum ou le minimum d'une fonction de plusieurs variables, ces variables étant liées par une ou plusieurs relations. Soit, par exemple, w=/(x, j^, 5, u) une fonction des quatre variables x^ y, 5, u, assujetties à vérifier les deux relations

f\(^i 7, 5, u) -- o, f\{x,yy z, u) = o.

Considérons, pour fixer les idées, ^ et ^ comme deux variables indépendantes, z et u comme des fonctions de :r et de ^ définies par les relations précédentes. Les conditions pour que co soit maximum ou minimum sont les suivantes :

àx dz dx du ôx * dy dz dy du dy '

d'ailleurs les dérivées partielles -r-y ^-> i-> -r- sont données pat*

^ dx dx dy dy ^

les relations

àx dz dx du dx

àft ^ dfi àz ^^ffdu dx dz dx du dx

dy dz dy du dy

àA^à/,dz^dJjdji^ dy dz dy du dy

et Téliraination de ^r- , 3- , ^^ , ^r- conduit aux deux relations dx dx dy dy

D(/. /../.) „ ^L,fujr ) ^ „

l44 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

qui, jointes aux relations f\ ^^ o, f^^^ o, déterminent les valeurs de x^ y^ 5, u correspondant à un maximum ou à un minimum. Or les deux équations (27) expriment que l'on peut trouver pour X et |JL des valeurs telles que Ton ait

dx dx ^ àx

ày dy ^ dy

dz dz ^ dz *

df . dfx dfi du du ^ du

On peut donc remplacer les deux conditions (27) par les quatre équations (28), en considérant X et a comme deux inconnues auxiliaires.

La démonstration est évidemment générale, et Ton peut énoncer la règle pratique suivante : Etant donnée une fonction

f(Xly X^, . . ., X„)

de n variables liées par h relations distinctes

pour trouver les valeurs de Xt, X2, . > . ^ Xn qui rendent cette fonction maximum ou minimum, il faut égaler à zéro les dérivées partielles de la fonction auxiliaire

/-i-X,îpi-i-...-7-XA«?/i,

en regardant X|, Ao, . . . , X^ comme des constantes,

62. Autre exemple. — Voici un autre exemple où le minimum ne s'obtient pas toujours en égalant à zéro les dérivées partielles. Étant donné un triangle ABC, soit à trouver le point P du plan de ce triangle pour lequel la somme des dislances PA -+- PB 4- PC est la plus petite possible. Soient (ai, 61), (aj, ôj), («3, b^) les coordonnées des sommets A, B, C, dans un système d'axes rectangulaires; nous avons à chercher le minimum de la fonction