II. — POINTS SINGULIERS. ~ MAXIMA ET MINIMA. l

surface le plus rapproché du plan des xy. On tire de la relation (29) èz X — a\ X — a\

àz y ~ bx r — *î

Oy yJCx — ax )^-.- ( r - 6, )* ^^x - a^i'-^^y - 0^)^

+ yiZlh ;

nous voyons que ces dérivées sont continues, sauf dans le voisinafje des points A, B, C, où elles deviennent indéterminées. La surface S a donc trois points singuliers, qui se projettent aux trois sommets du triangle donné. Le minimum de z est donné par un point de la surface S où le plan tangent est parallèle au plan des xy, ou par un de ces points singuliers.

Pour résoudre les équations —- =0, — =0, écrivons-les ^ dx ^ Oy

X — rt] X — <Tj X — flfj

Y — bx ^ y—bt y — é>3 ,

si on les ajoute, après les avoir élevées au carré, il vient

H 2 ( ^ — ^\^i^ ~ f^i) -^ i Y — bxM y — h^) ^

L'interprétation géométrique de cette condition est bien facile : si nous appelons a, {i les cosinus des angles que fait la direction PA avec O.r et Oj, et de même a! et 3' les cosinus des angles que fait la direction Pli avec les axes, on peut l'écrire

i-T-2(aa'H- ??') =0

ou, en appelant 10 l'angle APB,

Lequation précédente exprime donc que du point P on voit le seji^menl AH sous un angle de 120°. Pour la môme raison, chacun des angles BPC et GPA doit être de 120**. Il est clair que le point P (*) doit être à l'intérieur du triangle \BG, et qu'il ne peut exister un point jouissant de cette propriété que si aucun des angles du triangle ABC n'est égal ou supérieur à r^o".

(•) Le lecteur est prié de faire la figure.

l46 CHAPITRE III. — FORMULE DE TATLOR, BTC.

Lorsqu'il en est ainsi, le point P est unique et s'obtient par l'intersection de deux arcs de cercle faciles à tracer. Dans ce cas, le minimum est fourni par le point P ou par l'un des sommets du triangle; mais il est facile de vérifier que la somme PA ■+- PB -h PC est plus petite que la somme de deux des côtés du triangle. Les angles APB et APC étant de 120°, les deux triangles PAG, PBA nous donnent en effet

AB = /a» 4- 6* 4- aô, AG = /a*-+- c*-t- ac,

en posant PA = a, PB = b, PG = c; or on a

\/a*-j- 6'-j- aô > 6 H — > /a* -h c^ -^r ac > c -\ — j '2 2

comme on le vérifie immédiatement en élevant au carré, et par suite

AB -4- AG > a -H ^ 4- c.

G'cst donc le point P qui donne le minimum.

Lorsque le triangle ABG a un angle supérieur ou égal à 120^, il n'existe pas de point P d'où Ton voie les trois côtés du triangle ABG sous un angle de 120**, et la surface S n'admet pas de plan tangent parallèle au plan des ay. Le minimum est alors fourni par l'un des sommets du triangle, et il est évident que c'est par le sommet de l'angle obtus. G'est ce qu'il est aisé de vérifier géométriquement.

63. Théorème de d'Alembert. — Soit F(Xyy) un polynôme à deux variables ar, ^, oidonné par groupes homogènes de degré croissant,

F(^, 7) = H H- tpp(x,7) -\- ^fH-iix, 7) -h. . . 4- Ç)m(^, r)y

H étant constant. Si l'équation «p^(a:, ^) = o, considérée comme une équation en — » admet une racine simple, il est impossible que la fonction ¥{x, y) soit maximum ou minimum pour x = y =0, Il résulte en effet de la discussion qui a été faite plus haut que l'on pourra trouver sur la surface ^ -4- H = F(a?, jk) des sections planes situées dans des plans passant par l'axe O^, dont les unes seront situées au-dessus du plan des xjr, les autres au-dessous de ce plan, dans le voisinage de l'origine. On peut déduire de cette remarque une démonstration du théorème de d'Alembert. Soit f(z) un polynôme entier, de degré m à coefficients quelconques,

f(z) = Ao-+- A,^ -h Ai5*-h...H-A;„-5'w,

ou, en mettant en évidence les parties réelles et les parties imaginaires, €«0) ^Oï «lî ^ij • • •> ^rm (>m étant réels. On peut encore l'écrire