II. — POINTS SINGULIERS. — MWIIIA ET MINIMA. l

en posant

P = Oo-Haiar— 6|j^ -+-...,

Q = 60 -h ^1 ar -r- aiy -f . . . ,

et 1 on a

1/(^)1 = v/P^Qv

Nous allons d*abord montrer que \/{z)\ ou, ce qui revient au même, P*-f Q* ne peut être minimum pour x=y = o, à moins que l'on n'ait ao=6o = o. On peut écrire en effet, en employant les coordonnées polaires p et <p, et en supposant, pour plus de généralité, que le premier coefficient qui n'est pas nul à partir de A© est le coefficient A^,

P = aoH-(a/,cos/)îp — 6psin/)9)p/'-t-. .., Q = 60 -h (bp cos/?5p -h Op sin/>9)pP-i-. . . , ?i-hCli = ai-^bl-h^pP[{aoap-hbobp)co8p(^-h{boap — aobp)sinp<f]-h,..,

les termes non écrits étant de degré supérieur à p par rapport à p. Or l'équation

{a^ap-h bobp)cosp^ -^{b^ap— aobp)s\npif =0

donne tang/>cp = K, ce qui détermine p droites distinctes, faisant entre

elles des angles égaux à — • Il est donc impossible, d'après la remarque

faite plus haut, que P*-h Q* soit minimum pour x =y = o, à moins que l'on n'ait à la fois

ao ûf ;j -H ^0 ^P = o, b^ap — aQbp=z Of

et, comme aj-+- 6J n'est pas nul, il faudra que l'on ail «0= ^0 = 0, c'està-dire que la partie réelle et la partie imaginaire de/(^) soient nulles séparément.

Si 1/(5)1 est mini mum pour ar = a, j^ = p, on ramène ce cas au précédent en posant z = a -h t^ -h z', et l'on en conclut que \/{z)\ ne peut être minimum sans que P et Q soient nuls séparément pour a; = a, j' = p.

Le module de f{z) doit passer par un minimum pour une valeur au moins de js, car ce module augmente indéfiniment lorsque le module de s augmente indéfiniment. On a, en effet, en posant a? = p cos^, J = p sincp,

pt-hQ«=(aî.-h6î,)pî'"-h...,

les termes non écrits étant de degré inférieur à 2 m en p, ce qu'on peut écrire

v/PîTq-î = p'«(/aî,-i-6?„4- e),

Etendant vers zéro lorsque p croît indéfiniment. On peut donc décrire un cercle de rayon R assez grand pour que la valeur de ^P^-h Q* soit supérieure en tous les points de ce cercle à la valeur de cette même fonction

l4S CHAPITRE III. — FORMULE I)E TATLOR, ETC.

pour l'origine, par exemple; il s'ensuit qu'il y aura au moins un point

ar = a, J' = |i,

à l'intérieur de ce cercle, pour lequel /P*-h Q» sera minimum. D'après ce que nous venons de démontrer, le point or = a, ^ = ^ est un point d'intersection des deux courbes P=o, Q = o; ce qui revient à dire que z = a -i- pt est racine de l'équation /(^) = o.

Dans cet exemple, comme dans le précédent, nous admettons qu'une fonction de deux variables {x, y), continue à l'intérieur d'une aire fermée, atteint effectivement une valeur minimum à l'intérieur ou sur le contour de cette aire. C'est une propriété que l'on admet sans peine, mais que l'on démontre d'ailleurs en toute rigueur {voir plus loin, Chapitre VI).

1. Le nombre 6 qui figure dans la forme du reste de Lagrange a pour limite lorsque h tend vers zéro, pourvu que/^»-*-*^(a) ne soit pas nul.

2. Soit F(a?) un déterminant d'ordre n dont tous les éléments sont des fonctions de x\ la dérivée F'(a7) est la somme de n déterminants qui s'obtiennent en remplaçant successivement tous les éléments d'une ligne par leurs dérivées.

Que devient cet énoncé pour les dérivées d'ordre supérieur?

3. Trouver les valeurs maxima et minima de la distance d'un point à une courbe plane ou gauche, de deux points de deux courbes, de deux points de deux surfaces.

4. Les points d'une surface S, pour lesquels la somme des carrés des distances à n points fixes est maximum ou minimum, sont les pieds des normales abaissées sur cette surface du centre des moyennes distances des n points fixes donnés.

5. De tous les quadrilatères que l'on peut former avec quatre côtés donnés, celui qui a la plus grande surface est inscriptible dans une circonférence.

Extension aux polygones de n côtés.

6. Maximum- du volume d'un parallélépipède rectangle inscrit dans un ellipsoïde.

7. Trouver les axes d'une quadrique à centre en considérant les sommets comme les points dont la distance au centre est maximum ou minimum.

8. Même problème pour les axes de la section centrale d'un ellipsoïde.

9. Trouver l'ellipse d'aire minimum passant par les trois sommets d'un triangle, et l'ellipsoïde de volume minimum passant par les quatre sommets d'un tétraèdre.

10. Trouver le point dont la somme des distances à deux droites données et à un point donné est minimum.

[Joseph Bertrand.] il. Démontrer les formules suivantes :

Iog(T-h2) = 2\0g{x-h l) — 2 log(x — l)-hlog(x — l)

[Série de Borda];

log(* -h 5) = log(a? 4- 4 ) -»- log(x -H 3 ) — a log:r

-f-log(x — 3) -h log(x — 4) — log(d? — 5)

[Série de Haro].