I. — METHODES DIVERSES DE QUADRATURE. l5l

da triangle ABC. Menons la tangente ET qui coupe CD au point T, le diamètre EF qui coupe CB en F, et enfin les parallèles EK, FH à la corde AB. D'après une propriété élémentaire de la parabole, on a TC = CK; d'ailleurs CT=:EF = KH et,

par suite, EF ^ — = --—. Les aires des deux triangles BCE,

6DC, ayant la base commune BC, sont entre elles comme les hauteurs, ou comme les droites EF, CD. L'aire du triangle BCE est donc égale au quart de l'aire du triangle BCD, ou au huitième de l'aire S du triangle ABC; l'aire du triangle ACE' a évidemment la même valeur. En opérant de la même façon sur chacune des cordes BE, CE, CE, E'A, on obtient quatre nou-

S veaux triangles dont l'aire est égale à r^» et ainsi de suite. La

/i'*'"* opération conduira à 2" triangles, l'aire de chacun d'eux

S étant égale à ^» L'aire du segment de parabole est évidemment

égale à la limite vers laquelle tend la somme des aires de tous ces triangles, lorsque n augmente indéfiniment, c'est-à-dire à la somme de la progression géométrique décroissante

4S qui a pour valeur -^' On voit donc que l'aire cherchée est égale

«^r de l'aire du parallélogramme construit sur AB et (^D.

Tout en admirant l'ingéniosité de cette méthode, on ne peut s'empêcher de remarquer que le succès tient uniquement aux propriétés particulières de la parabole, et que le procédé n'a rien de général. Les autres exemples de quadrature dus aux anciens, que nous pourrions citer, ne feraient que confirmer celle remarque; chaque courbe nouvelle exigeait un nouvel artifice. Mais, quel que fût l'artifice employé, on décomposait toujours l'aire à évaluer en éléments dont le nombre augmentait indéfininaent, et il fallait chercher la limite de la somme de ces aires partielles. Laissant de côté les procédés particuliers (*),

(M On trouvera, dans le Traité de Duhamel, un grand nombre d'exemples de u^lenninations d'aires, d'arcs et de volumes, par les procédés des anciens.

ID2 CHAPITRB IV. — INTEGRALES DEFINIES.

nous allons indiquer tout de suite la méthode générale de décomposition qui nous conduira tout naturellement au calcul intégral.

65. Méthode générale. — Soit, pour fixer les idées, à évaluer l'aire S comprise entre un arc de courbe AMB, un axe xx' qui ne rencontre pas cet arc, et les deux perpendiculaires AA© et BBo abaissées des points A et B sur xx^ \ nous supposerons de plus

Fig. 9.

fH

Ri

Ra

^ Pn^

Bo

JO

qu'une parallèle à ces droites AAo, BB©, ne peut rencontrer l'arc AMB en plus d'un point, comme l'indique \dijig, 9.

Décomposons le segment AoBq en un certain nombre de parties, égales ou inégales, par des points de division Pi, Pj, . . ., P/i-ij et par ces points de division menons des parallèles P|Qi, P2Q2, . . ., P/i i Q//i à la droite AA©, qui rencontrent l'arc AB aux points Qi, Qa, . . ., Q«i respectivement.

Puis par A menons une parallèle à xx^ qui coupe P| Qi au point ^1, par Qi une parallèle à xx' qui coupe P2Q2 au point ^j, et ainsi de suite. Nous obtenons ainsi une suite de rectangles R|, R2, . . ., R|, . . ., R„; chacun d'eux peut être tout entier à l'intérieur du contour AB Bq Aq, mais il peut aussi, comme l'indique la figure, avoir une partie à l'extérieur de ce contour.

Nous désignerons par a/ l'aire du rectangle R/, et par ^i l'aire limitée par le contour P|i P/QiQ/|. Observons d'abord que

chacun des rapports^»— > ..., £^, .*., tend vers l'unité lorsque

le nombre des points de division augmente indéfiniment, de façon que toutes les distances AoP|, P|Pi, ..., Pi i P|, ..., tendent

vers zéro. En effet, le rapport — > par exemple, est évidemment