I. — MÉTHODES DIVERSES Dl QUADRATURE. l

compris entre ^i — w — et r; — ^/r — > Z/ et L/ étant les distances

maximum et minimum d'un point de l'are Qi iQi à Taxe xx'\ il est clair que ces deux rapports tendent vers riinilé lorsque la dislance P/|P| devient infîniment petite. Cela posé, le rapport

pr-t- ?,-+-.:. -H p/.

qui est compris entre le plus grand et le plus petit des rapports

û^» ir» '-'y Q~9 aura aussi pour limite Tunité lorsque le nombre

des rectangles augmente indéfiniment. Or le dénominateur de ce rapport est constant et égal à l'aire cherchée S; par suite, cette aire est aussi égale à la limite de la somme ai + aj -{-... + a„, lorsque le nombre n des rectangles augmente indéfiniment, de façon à satisfaire à la condition indiquée plus haut.

Pour déduire de là une expression analytique de Taire, supposons que l'on ait rapporté la courbe AB à un système d'axes reclaogulaires, l'axe Ox coïncidant avec xx'. Soit j'=/(x) l'équation de la courbe AB,/( x) est par hypothèse une fonction continue dex lorsque x varie entre les limites a et 6, abscisses des points A et B. Si l'on désigne par Xi , X2, • • , ^/i i les abscisses des points de division P|, Pj, . . ., P/i 1, les bases des rectangles précédents sont Xi — Uf X2 — Xij , , ,j Xi — xu n • • • j f> — ^n^ 1 7 et les hauteurs sont de même /(a), /(x< ), . . . , /(x/, ), . . . , /( j:„i ). L'aire S est donc égale à la limite de la somme

lorsque le nombre n augmente indéfiniment, de façon que toutes les différences x^ — a^ x^ — ^1 , . . . , tendent vers zéro.

66. Exemples. — Si on divise la base AoBq en n parties égales, de longueur A, (6 — a = nh)^ tous les rectangles ont la même base A, et les hauteurs sont respectivement

/(a), /(a-t-A), /(a^-aA), ..., y[a h- (/i - i)/i];

on a donc à chercher la limite de la somme

l54 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

OÙ

lorsque le nombre entier n ;aiigmente indéfîniment. Le calcul est facile lorsqu'on sait trouver la somme des valeurs de /(x) pour des valeurs de x formant une progression arithmétique. C'est ce qui a lieu s\/(^x) se réduit à une puissance entière dex, ou encore

si l'on a /(x) = s'inmx ou /{x) = cosmx Reprenons, par

exemple, la parabole x^=^2py et proposons-nous d'avoir Taire comprise entre un arc OA de cette parabole, l'axe des x et la droite x = a, passant par l'extrémité A. La base étant divisée en n parties égales, de longueur h {nh = a), nous avons, d'après ce qui précède, à chercher la limite de la somme

A[/,.+ 4/,i + ...^(n-,)iAi] = ^[, + 4 + 9+... + (n~i)«];

on a entre parenthèses la somme des carrés des (n — i) premiers

nombre

égale à

nombres, c est-à-dire ^ -y et la somme précédente est

Lorsque n augmente indéfiniment, cette somme a évidemment

!• • ût' i a' 1*1 I • 1

pour limite -— = - a — , ou le tiers du rectanorle construit sur les

deux coordonnées du point A, ce qui est bien d'accord avec le résultat obtenu plus haut.

Dans d'autres cas, comme dans l'exemple suivant dû à Fermât, il vaut mieux prendre pour abscisses des points de division des nombres en progression géométrique.

Soit à trouver l'aire comprise entre la courbe j^ = A.rt*, l'axe des X et les deux droites ;r = a, .r = 6, (o < a < 6), l'exposant p. étant quelconque. Pour cela, nous insérerons, entre a et 6, n — i moyens géométriques, de façon à avoir la suite

le nombre a satisfaisant à la condition a ( i -|- a)" = 6 ; les nombres précédents étant pris pour abscisses des points de division, les