I. — MÉTHODES DIVERSES DE QUADRATURE. iS

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ou, en divisant par Ax, A < — < H. Lorsque \x tend vers zéro,

la fonction y(a:) étant continue, H et h ont pour limite commune MP ou f{x)'y la fonction A a donc pour dérivée /(x). Le lecteur vérifiera sans peine que la conclusion est la même, quelle que soit la position du point M.

Si Ton connaît déjà une fonction primitive de/(x), c'est-à-dire une fonction F(x) avant pour dérivée /(x), la différence A — F(x) ayant sa dérivée égale à zéro se réduit à une constante C (n** 8). Pour déterminer la constante C, il suffit de remarquer que Taire A est nulle pour l'abscisse x = a de la droite MqPq. On a donc

Le raisonnement qui précède prouve : d'une part, que la détermination d'une aire plane se ramène à la recherche d'une fonction primitive; d'autre part (et cette conséquence est beaucoup plus importante pour nous), que toute fonction continue f{x) est la dérivée d'une autre fonction. Ce théorème fondamental est ainsi établi à l'aide d'une notion géométrique un peu vague, celle de Taire d'une courbe plane. On s'est contenté pendant longtemps de cette démonstration, mais elle ne saurait suffire aujourd'hui. Pour fournir une base solide au Calcul intégral, il est indispensable de donner de ce théorème une démonstration purement analytique, ne faisant aucun appel à l'intuition géométrique. Si j'ai rappelé la démonstration précédente, c'est non seulement à cause de son intérêt historique, mais aussi parce qu'elle nous fournit l'élément analytique essentiel de la nouvelle démonstration. C'est en effet l'étude des sommes telles que (i), et de sommes d'une forme un peu plus générale, qui va jouer un rôle prépondérant. Avant d'aborder cette étude, il nous faut d'abord présenter quelques considérations sur les propriétés générales des fonctions et en particulier des fonctions continues (*).

C) Parmi les traTaux les plus importants sur la notion générale d'intégrale définie, je dois citer ici le Mémoire de Riemann Sur la possibilité de repré- ' tenter une fonction par une série trigonométrique {Œuvres de Riemann, Iradaiies par Laugel, p. 226), et le Mémoire déjà cité de M. Darboux Sur les fonctions discontinues {Annales de l'École Normale supérieure, 2* série, t. IV).

l58 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIE?.