I. — MÉTUODBS DIVElftBS DB QUAOEATURB. l

ordonnées correspondantes ont pour valeurs

AaV'y Aa|A(i-hoi)|A, KaV-{i-h ayV', ... et Faire du ^*^"« rectangle a pour expression

La somme des aires de tous ces rectangles est donc égale à

Aa|i *■»«[! -H (I -h «)!*+-> -4- (i -4- a)»ll*-»-»J-f- . . . -h (i -h a)(«-t)(|A+-i)];

si (Jt + i n'est pas nul, ce que nous supposerons d'abord, la somme entre parenthèses est égale a — — et, en remplaçant a(i -h a)" par 6, on peut écrire la somme précédente

Quand a tend vers zéro, le quotient ^ — ^ a pour limite la dérivée de (i-f-a)l*+* par rapport à a, pour a = o, c'està-dire |i 4- I ; l'aire cherchée est donc égale à —-^ •

Lorsque (jl ^ — i, le calcul ne s'applique plus. La somme des aires des rectangles inscrits est égale à /lAa, et il faut chercher la limite du produit /la, /i et a étant liés par la relation

On lire de là

. b OL . b I na = log- j — ; — log ,

a log(i-ha) « , , J

log(i-f-a)«

log désignant le logarithme népérien; lorsque a tend vers zéro, (ï-l-a)* a pour limite le nombre e, et le produit n% a pour limite log-- L'aire cherchée est donc égale à A log- •

67. Fonctions primitives. — L'invention du Calcul intégral a ramené le calcul d'une aire plane à la recherche d'une fonction

l'ïG CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

ayant pourdérîvée une fonction connue. So\ly^/{x) l'équation d'une courbe rapportée à deux, axes rectangulaires, la fonction/(x) étant continue. Considérons Taire comprise entre cette courbe, Taxe des .r, une ordonnée fixe MqPo et une ordonnée variable MP comme fonction de l'abscisse x de l'ordonnée variable. Celte aire A est évidemment une fonction continue de a:, tant que la fonction /{x) reste elle-même continue. Afin d'embrasser tous les cas possibles, nous conviendrons de désigner par A la somme algébrique des aires limitées par la courbe donnée, l'axe des x et les droites MoPo> MP, chacune des portions dont peut se composer cette aire étant affectée d'un signe, le signe -j- pour les aires à droite de MqPo et au-dessus de Ox, le signe — pour les aires à

droite deMoPo et au-dessous de Ox, et la convention contraire étant faite pour les aires à gauche de MoPo- Ainsi, lorsque MP vient en M'F, on prendra A égal à la différence des deux aires

MoPoC-M'P'C;

de même, si MP est en M"F, on aura A = M'^PD — MoPoD.

Ces conventions étant faites, nous allons montrer que la fonction continue A ainsi définie a pour dérivée/(x). Prenons, comme l'indique la figure, deux ordonnées voisines MP, NQ, d'abscisses x et j?4- \x. L'accroissement de l'aire AA est évidemment compris entre les deux rectangles qui auraient pour base commune la distance PQ et pour hauteurs respectives la plus grande et la plus petite des ordonnées de l'arc MN; désignons ces ordonnées maxima et minima par H et A, nous pouvons écrire

/i Aar < AA < H Aj-,