II. — INTEGRALES DEFINIES. — NOTIONS GEOMETRIQUES. l6i

rinlervalle (o, i) par les conditions

/(o) = o, f{x)—i-'Xy pouro<a?li,

admet pour limite supérieure M=: i, et n'atteint jamais cette limite.

70. Propriétés des fonctions continues. — Nous allons maintenant nous occuper en particulier des fonctions continues.

Théorème A. — Soit f{x) une fonction continue dans Vin^ tervalle (a, 6), et e un nombre positif arbitraire. On peut toujours décomposer l* intervalle {a^ b) en un certain nombre d'intervalles partiels tels que, pour deux valeurs quelconques de la variable, od et oif , appartenant à un même intervalle partiel, on ait toujours \f{x') — f{^")\<. £•

Supposons en effet qu'il n'en soit pas ainsi, et soit c= ;

l'un au moins des intervalles (a, c), (c, 6) jouira de la même propriété que (a, 6), c'est-à-dire qu'il sera impossible de le décomposer en intervalles partiels satisfaisant à Ténoncé du théorème. En le substituant à (a, b), et en raisonnant comme plus haut(n"68), nous formerons une suite indéfmie d'intervalles (a, b)^ [^^^ bt), («2, 62), . . ., dont chacun est la moitié du précédent, et qui possèdent la même propriété que l'intervalle primitif (a, b). Quelque grand que soit /i, on peut toujours trouver dans TintervalJfe (a„, b„) deux nombres x' et a/' tels que \f{x') — f{j^")\ soit supérieur à e. Cela étant, désignons par \ la limite commune des deux suites de nombres a, «<, «2, . . . et 6, 6|, 62? • • •• La fonction/(jc) étant continue pour x = X, on peut trouver un nombre Tj

tel que l'on ait \f{x) — fO^)\<^ -♦ pourvu que \x — ).| soit inférieur à 7|. Choisissons ensuite n assez grand pour que an et bn diffèrent de \ de moins de r,, de façon que Tintervaile («,^, bn) soit compris dans l'intervalle (A — Tj, X -{- vi ) ; x' et x" étant deux valeurs quelconques de l'intervalle (^,1, 6^), on aura donc

et par suite \f{x') — f[x!')\<^t, La supposition dont nous G. II

l6a CHAPITRE lY. — INTEGRALES DÉFINIES.

sommes partis nous conduit à une contradiction. Le théorème est donc exact.

Corollaire /. — Soit n, :ri, j?^, . . ., Xp^^ b un mode de subdivision de rintervalle (a, b) enp intervalles partiels, satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Dans Tintervalle (a, x^) on aura |/(:r)|<|/(a)|-f.e, et en particulier |/(^0I < l/(«)l + e; de même, dans l'intervalle (xtf ^2)5 on aura |/(^)| < |/(jC|)| -h e et a fortiori |/(a:)| < |/(a)| -H 2e. En particulier, pour x = x^, 1/(^2)1 < |/(«)| -h 2e, et ainsi de suite. Pour le dernier intervalle, on obtiendra l'inégalité

1/(^)1 < l/(^p-i)I + e < |/(a)| -+-/>e. On voit que la valeur absolue de /{x) dans l'intervalle (a, b) reste toujours inférieure à |/(ûe)| -hpe. Toute fonction continue dans un intervalle (a, b) est donc finie dans cet inter{>alle.

Corollaire IL — Imaginons que Ton ait décomposé l'intervalle (a, 6) en p intervalles partiels (a, ^,), (a^i, ^Tj), ...,

{xp^^^ 6), tels que l'on ait toujours |/(^') — /(^'')| < - pour

deux valeurs quelconques de x appartenant à un même intervalle. Soit 7) un nombre positif plus petit que toutes les différences X\ — a^ X2 — ^1, .«M b — Xp^^. Prenons deux nombres quelconques compris entre a et 6, tels que l'on ait |x' — a/'|< tj, et cherchons une limite supérieure de \f{x') — f{x!')\. Si les deux nombres x\ xf' tombent dans un même intervalle partiel, on a

1/(0?') — f{^")\<i -• Dans le cas contraire, a/ et xf' appartiennent à deux intervalles consécutifs, et il est clair que l'on a |/(a?')— /(:r")| < 2 - = e. Donc, à tout nombre positif t on

peut faire correspondre un autre nombre positif r\ tel que, ocf et af désignant deux nombres de Vintervalle (a, b), on ait

\f{x')^f{af)\<t,

toutes les fois que Von a \xf — xf'\<,'r\. On exprime aussi cette propriété en disant que la fonction /(^) est uniformément continue dans l'intervalle (a, é).

Théorème B. — Une fonction f{x) continue dans l'inter-