II. — INTÉGRALES DÉFINIBS. — NOTIONS GBOMÉTRIQIBS. l

çalle a, b) prend au moins une fois toute valeur comprise entre f {a) et f[b), pour une valeur de x comprise entre a et b.

Prenons d'abord un cas particulier. Supposons que f{a) et /(6) soient de signes contraires, par exemple que l'on aity(a) < o, /(fr)>o. Nous allons montrer qu'il existe au moins une valeur de X comprise entre a et 6 pour laquelle f(x) = o. En effet, /(x)est négatif aux environs de a et positif aux environs de b] considérons l'ensemble des valeurs de x comprises entre a et 6 qui rendent la fonction /(x) positive et soit X la limite inférieure de cet ensemble {a<C'k<C.b). D'après la définition même de la limite inférieure, fÇk — h) est négatif ou nul, pour toute valeur positive de h; /(X) qui est la limite de fÇk — h) est donc aussi négatif ou nul. D'un autre côté, on ne peut avoir /(X)<o. Supposons en effet /(X) = — /n, m étant un nombre positif. La fonction/(x) étant continue pour^r = X, on peut trouver un nombre tj tel que l'on ait \/{x) — /(X)|<m, lorsque l'on a \x — X|<7i; la fonction /(x) serait donc négative pour les valeurs de x comprises entre X et X -j-r,, et X ne serait pas la limite inférieure des valeurs de x rendant la fonction positive. On a donc /(X) = o.

Soit maintenant N un nombre compris entre /(a) et/(6). La fonction continue ^(x)=/{x) — N prend des valeurs de signes contraires pour ^ = a et pour x = b. Donc, d'après le cas particulier qui vient d'être traité, elle s'annule au moins une fois dans l'intervalle (a, b).

Théorème C. — Toute fonction continue dans un intervalle (a, b) atteint au moins une fois sa limite supérieure et sa limite inférieure.

D'abord toute fonction continue restant finie, comme on l'a déjà démontré, admet une limite supérieure M et une limite inférieure m. Démontrons, par exemple, que l'on a f{x) = M pour une valeur de x au moins dans l'intervalle (a, b).

Soit c= ; la limite supérieure def{x) est égale à M pour

l'un au moins des intervalles (a, c), (c, b). Remplaçons (a, b) parce nouvel intervalle, sur lequel nous recommencerons l'opéralion, et ainsi de suite. En raisonnant comme on l'a déjà fait plu-

l64 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

sieurs fois, nous formerons une suite indéfinie d'intervalles (a, 6), («1, 6i), («2, 62), . . . dont chacun est la moitié du précédent, la limite supérieure de f{x) dans chacun de ces intervalles étant toujours égale à M. Soit X la limite commune des deux suites a, «1 , . . . , ttny . . . et 6, 6| , . . . , 6„, . . . ; /(X) est égal à M. Supposons, en effet, /(X) = M — A, h étant positif; on peut déterminer un nombre positif tj tel que, x variant de X — r^ àX-i-TO,

f{x) reste compris entre /(X) H — et/(X) et soit, par conséquent, inférieur à M • Prenons ensuite n assez grand pour que

an et i/i diffèrent de leur limite X de moins de r^; l'intervalle (a„, bn) sera compris dans Tintervalle (X — Tj, X-|-7)). La limite supérieure àe f{x) dans l'intervalle (a^j, b„) ne pourrait donc être égale à M. En rapprochant ce théorème du précédent, on en conclut c^xx^ une fonction continue dans un intervalle (a, b) passe, au moins une fois, par toute valeur comprise entre sa limite supérieure et sa limite inférieure. Le théorème A peut de même s'énoncer ainsi : Etant donnée une fonction continue dans r intervalle (a, 6), on peut le décomposer en intervalles partiels assez petits pour que Voscillation de la fonction dans chacun d^eux soit moindre que tout nombre positif choisi arbitrairement. L'oscillation d'une fonction continue est, en effet, égale à la différence des valeurs def(x) pour deux valeurs particulières de la variable.

71. Les sommes S et 5. — Soit /(x) une fonction finie, continue ou non, dans l'intervalle (a, 6), où a<ib. Imaginons l'intervalle (a, b) décomposé en un certain nombre d'intervalles partiels plus petits (a, X|), {Xij Xa), . . ., {Xp ij b), les nombres a?,, ^2, . . ., Xp^i allant en croissant; désignons par M et m les limites de f{x) dans l'intervalle total et par M/ et mi les limites dans l'intervalle {xi t, Xi) et posons

S = Mi(a?i — a) H- Mi(a?2 — x^) -h. . .-»- M;,(6 — Xp-x ), 5 = mj (x, — a) -h mi{Xi-^Xi) -+-...-+- mp{b — Xp^i).

A tout mode de subdivision de (a, b) en intervalles plus petits correspond une somme S et une somme 5 << S. Toutes les sommes S sont évidemment supérieures à m(b — a), car tous les