II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GEOMETRIQUES. I

Lorsque /(x) se réduit à une fonction rationnelle —j on peut calculer

l'indice par des opérations élémentaires, sans connaître les racines de V. II est clair qu'on peut supposer Vi premier avec V et de degré inférieur à V, car on ne change pas Tindice en retranchant un polynôme. Cela posé, imaginons la suite des divisions à effectuer pour trouver le plus grand commun diviseur entre V et V|, en changeant chaque fois le signe du reste. On divise d'abord V par Vi, ce qui donne un quotient Qi et un reste — Vj; on divise ensuite V| par Vj, ce qui donne un quotient Qi et un reste — Vj, et ainsi de suite; on finira par arriver à un reste constant — Vn-Hi. Les opérations donnent la suite d'égalités

Vn-i=V«Q;,-V,

cl la suite de polynômes

(7) ^'ï Vl, Vj, ..., V;.l, Vr, VrH-1, ..., V;,, Vrt^|,

jouit des propriétés essentielles d'une suite de Sturm : i" deux polynômes consécutifs ne peuvent s'annuler en même temps, car on en déduirait de proche en proche que cette valeur de x doit annuler tous les autres polynômes, et en particulier ¥«+-1 ; 2° lorsqu'un des polynômes intermédiaire? Vi, Vj, ..., Vrt s'annule, le nombre des variations présenté par la suite (7) ne change pas, car, si V^ s'annule pour x = c, V^-i et V^-hi sont de signes contraires pour x -= c,\\ s'ensuit que le nombre des varialions présentées par la suite (7) ne peut changer que lorsque x passe par

Y une racine de V = o. Si .v- passe de -f- » à — x, ce nombre augmente

d'une unité ; il diminue au contraire d'une unité, si — passe de — 00 à -h ».

L'indice est donc égal à la différence entre le nombre des variations de la suite (7) pour j? = 6 et j? = a.

78. Aire d'une courbe. — Nous pouvons maintenant donner une défînition purement analytique de Taire limitée par une courbe plane continue, l^aire du rectangle étant seule considérée comme connue. Nous n'avons pour cela qu'à traduire en langage géométrique les résultats du n*'7î2. Soit/(j;) une fonction continue dans rintervalle (a, 6); nous supposerons, pour fixer les idées, a < 6, et /(r) >> o dans cet intervalle. (Considérons comme plus haut ^fiS* 9; la portion du plan limitée par le contour AMBBqAo, composé du segment Aq Bq de Taxe des x, des droites AAq et BBq G. 12

parallèles à Oy, d'abscisses a et 6, et de Tare de courbe AMB qui a pour équation ^ =/( a:). Marquons sur AoBo un certain nombre de points de division P«, P^, ..., P/i, P/, ... d'abscisses Xi^ X2J ..., ^i-i, ^/, ... et par ces points menons des parallèles à l'axe des^, qui rencontrent Tare AMB aux points Qi, Q2, . . . , Q/M Q<i ' • • respectivement. Cela fait, prenons en particulier la portion du plan limitée par le contour Q/|Q|P/P,4Q/|, et sur l'arc Q/iQi marquons le point le plus haul et le point le plus bas, c'est-à-dire les points qui correspondent à la valeur maximum M/ et à la valeur minimum m/ de /{x) dans l'intervalle (xi^ij Xi) (dans le cas de la figure, le point le plus bas coïncide avec Q/-.i). Soit R/ l'aire du rectangle P/| P|5/5/i construit sur la base P/i P| avec la hauteur M/; soit de même r, l'aire du rectangle Pui P<yiQi i construit sur la base P/i P/ avec la hauteur m/. On a

R/ = Mi{Xi — ar,i ), /•/ = m/(x/ -- Xi^i ),

et les résultats démontrés plus haut (n** 72) peuvent s'énoncer ainsi : quels que soient les points dç division du segment AqBq, il existe un nombre déterminé I qui est inférieur à SR/ et supérieur à Sr/, et les deux sommes SR/, Sr/ ont pour limite I quand tons les intervalles partiels tels que P/|P| tendent vers zéro, leur nombre croissant indéfiniment. Nous dirons que cette limite commune I des deux sommes de rectangles SR/, Sr/ est Taire de la portion du plan limitée par le contour AMBBoAqA. Cette aire

est donc égale à l'intégrale définie 1 /{x) dx,

Cette définition est bien d'accord avec Tidée vulgaire de Taire d'une courbe plane. En efi'et, ce qui résulte de plus clair de cette notion, malgré son peu de précision, c'est que Taire limitée par le contour P||P|Q//îiQi-|Pi i est comprise entre les aires R/ et r/ des deux rectangles P/|P/5/5/< et Pi i P/^/Qi-i; Taire totale limitée par le contour AMBBoAoA doit donc être une quantité comprise entre les deux sommes S R/ et S/*/. Or l'intégrale définie [ est la seule quantité yîxe qui soit constamment comprise entre ces deux sommes, quel que soit le mode de subdivision de AoBo, puisque c'est la limite commune de 2R/ et de 2r/.

L'aire considérée peut encore être définie, d'une infinité de