II. — INTBGBALBS DBPINIS8. — NOTIONS GÉOMÉTBIQUES. I7S
La formule (6) peut aussi présenter quelque ambiguïté : ainsi , en prenant/(a:) = j> elle donne
* dx iH-ar*
= arc tang6 — arc tanga.
Le premier membre a un sens bien déterminé, tandis que le second membre présente une infinité de déterminations. Pour lever Tambiguïté, posons
cette fonction F(a;) est continue dans tout intervalle et s'annule avec j:. Désignons, d'autre part, par arc tangx Tare compris
entre et H Ces deux fonctions ont même dérivée et s'an-
nulent pour a: = o ; elles sont donc égales, el Ton peut écrire Ç^ dx C^ dx r" dx
en prenant toujours pour arc tang la valeur comprise entre
On établit de même la formule dx
= arc 8in6 — arc sinà,
OÙ le radical est pris en valeur absolue, où a et 6 sont compris entre — i et 4- i, et où l'on désigne par arcsino: Tare compris
entre — -et H- -•
T7. Indices* — D'une manière générale, lorsque la fonction primitive F(ar) admet plusieurs déterminations, on choisira une des valeurs initiales F(a) et l'on suivra la variation continue de cette détermination lorsque x varie dans le même sens de a à 6. Prenons, par e\emple, l'intégrale
oi
P et Q étant deux fonctions continues dans l'intervalle (a, 6), ne s*annulant pas en même temps. Une fonction primitive est arc tang/(a?). Si Q ne s'annule pas entre a et è, /(a:) ne devient pas infini, et arc tang/(ar)
reste compris entre et -; mais il n'en est plus de même, en général,
si l'équation Q =0 a des racines dans cet intervalle. Pour voir comment on doit modifîer la formule, réservons toujours la notation arctang à
l'arc compris entre et -h -, et supposons d'abord que Q s'annule
une seule fois entre a et b^ pour une valeur a? = c. Nous pouvons écrire
e et e' étant deux nombres positifs très petits; /(a?) ne devenant pas infini entre a et c — s, ni entre c -+- e' et 6, on a encore
* f'dx ^ — ^ = arc tang/(c — e) — arc tang/(a)
•arctang/(6) — arc tang/(c -h e')-i- I
Il peut se présenter plusieurs cas. Supposons, pour fixer les idées, que /(a?) devienne infini en passant de H- oc à — x] f(c — e) sera positif
et très grand, arc tang/(c — e) sera très voisin de -, f{c-\-z') sera négatif et très grand, arc tang/(c -h e') sera très voisin de — -\ quant à
l'intégrale f , sa valeur absolue est très petite. Passons à la limite;
il vient
f'(x)dx ., , ^ ^,
i4-/i(ar) = "^ -^- arc tang/(ô) - arc tang/(a) ;
on verrait de môme qu'il faudrait retrancher 7:, si f{x) passait de — « à -+- ». Dans le cas général, on partagera l'intervalle (a, b) en intervalles partiels assez petits pour que, dans chacun d'eux, /(ar) ne devienne infini qu'une seule fois : en raisonnant sur chacun de ces intervalles comme on vient de le faire, et ajoutant les résultats obtenus, il vient
^ fixUx
i-i-/i(x) "" ^^^ ^^"g/(^) - ^^^ tang/(a) -H (K — K')r,,
K désignant le nombre de fois que/(ar) devient infini en passant de -f-» à — 00, K' le nombre de fois que /(x) passe de — 00 à -+-00. Ce nombre K — K' est appelé Vindice de la fonction f{x) entre a et b.
