II. — INTEGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES. l8l

lorsque le nombre des côtés augmente indéfiniment, la longueur de chacun des côtés tendant vers zéro, cette limite est par définilion la longueur de Varc AB.

Soient

les coordonnées rectangulaires d'un point de l'arc AB, exprimées au moyen d'un paramètre variable t\ nous supposerons que, t variant de a à 6 (a<6), les fonctions/, ç, ^ sont continues et admettent des dérivées du premier ordre continues, et que le point (^, y^ z) décrit l'arc AB en marchant constamment dans le même sens. Désignons par

a, tx, ttj ...» U-it ttj ..., tn-\, b^

les valeurs de t qui correspondent aux sommets de cette ligne polygonale; le côté c/ a pour expression

OU, en appliquant la formule des accroissements finis à Xi — Xi x , . . . ,

\h ^/î Çi étant compris entre //, et //. Lorsque l'intervalle (^1-1, ti) est très petit, le radical diffère très peu de

pour trouver une limite de la différence, nous pouvons l'écrire

Or on a

\f\\i)\ -H l/(^'-i)l < /7"n$/>) + ...-^ yZ/'V^) ^f^TTT et, par suite,

Si donc on a choisi tous les intervalles assez petits pour que, dans chacun d'eux, l'oscillation des fonctions f{t)^ î'(0> ^'(0

soit moindre que x» on pourra écrire

l82 CHAPITRE IV. — INTEGRALES DÉFINIES.

OÙ

\ti\<t.

Le périmètre de la ligne polygonale est donc égal à

S ( r,.— </i ) v7"H^-i) -+- ?'n^/-i) -H ^'\h-i) -^ Se, ( ti - ti-i ).

Le terme complémentaire S£|(/| — //i) est inférieur en valeur absolue à eS(</ — //i ), c'est-à-dire à e(6 — a); puisque e peut être rendu aussi petit qu'on le veut, pourvu que les inlervalles soient assez petits, on en conclut que ce terme tend vers zéro, et la longueur S de Tare AB est égale à l'intégrale définie

La définition précédente s'étend aussi au cas où les dérivées y^, (p'j J^' seraient discontinues en un nombre fini de points de Tare AB; ce qui arriverait si la courbe présentait des points anguleux. Il suffirait de partager l'arc AB en plusieurs autres, pour chacun desquels y, ç', ^' seraient continues.

De la formule (8) on déduit que l'arc compris entre un point fixe A et un point variable M, correspondant à la valeur t du paramètre, est une fonction de t ayant pour dérivée

en élevant au carré les deux membres et multipliant par dt^y il vient

(9) t/S» = dx^-^d/^-h dz^y

formule qui a lieu, quelle que soit la variable indépendante. On peut la retenir aisément, d'après sa signification géométrique; elle exprime que dS est la diagonale d'un parallélépipède rectangle dont dxj dyj dz sont les trois arêtes.

Remarque. — En appliquant la formule de la moyenne à l'intégrale définie qui représente l'arc MoM|, dont les extrémités correspondent aux valeurs /q? h ^u paramètre (/j > /q)? on a

s = arcMoM, = (/, — t^) //'«(O) H- «p'^^) -H f H^), 8 étant compris dans l'intervalle (^o? ^i)- On a de même, en dési-