II. — INTÉGRALES DÉFINIBS. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES. l

gnant par c la corde Mo M,,

en appliquanl la formule des accroissements finis à chacune des différences /(^i) — /(^o)? • • •; nous pouvons écrire

c = (^-/o)v//'«(OH-?''^(^)-+-4'''Ta

les trois nombres Ç, t), îJ appartenant à rînlervalle (^o> ^i)* D'après le calcul fait plus haut, la différence des deux radicaux est inférieure à e, pourvu que Toscillation des fonclions/'(^), 'f'(/), ^'{t)

soit inférieure à - dans Tintervalle (^o, ^0- On a donc et par suite

' //''(0)-f-9'*(e)"4-fî(0)

Si Tare MoM| devient infiniment petit, /| — t^ tend vers zéro;

il en est de même de e et, par suite, de i • Donc le rapport dUin

arc infiniment petit à sa corde a pour limite l'unité.

Exemple, — Soit à trouver Tare d'une courbe plane donnée par son équation en coordonnées polaires p =/(ci>). En prenante) pour variable indépendante, la courbe est représentée parles trois équations x = p cosw,^ = p sino>, z = o, d'où Ton tire

ds^= dx^-h dy* = (cosw dp — p sintu ^0))*-+- (sinturfp -h p coscd dio^y

OU, en réduisant,

ds^= dp^-^ p^dm-.

Prenons, par exemple, la cardioïde représentée par Téqualion p = R H- R co<î(u.

La formule précédente donne

c?5*= R*ûfai*[sin^(«)-i-(i 4- cosw)'] = 4R2cos5- dui^\ si nous faisons varier o> de o à t: seulement, on en déduit

ds = iK cos— dm.

l84 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

et la longueur d'un arc a pour expression

La longueur lolale est donc égale à 8R.

81. Cosinus directeurs. — Pour étudier les propriétés d'une courbe, on est souvent conduit à prendre l'arc pour variable indépendante. On adopte alors sur la courbe considérée un sens de parcours positif, et l'on désigne par s la longueur de l'arc AM compris entre un point fixe A et un point quelconque M, affectée du signe -h ou du signe — , suivant que la direction de A en M est la direction positive ou la direction opposée. En un point quelconque M de cette courbe menons la direction de la tangente qui coïncide avec la direction des arcs croissants, et soient a, p, Y les angles que fait cette direction avec les directions positives de trois axes rectangulaires Ox, 0^', Oc. On a

it I

cosa __ cosp __ cosY ^ i

"d^ ~ ~dx' " "dT ~ ~ T^î^T^j^n^^i ~ ds '

pour savoir le signe qui convient, supposons que la direction positive de la tangente fasse un angle aigu avec Ox; x et s croissent en même temps, on doit donc prendre le signe -f-. Si l'angle a est obtus, cosa est négatif, x diminue quand s augmente,

--r- est négatif, il faut encore prendre le signe +. On a donc, dans

tous les cas,

(10) <^os« = -^- ^^'P=^V "^'^ = ^'

dx^ dy, dzy ds étant les différentielles prises par rapport à la variable indépendante, qui peut être quelconque.

82. Variation d'un segment de droite. — Soit MM i un segment de droite dont les extrémités décrivent deux courbes G, C|. Sur chacune des deux courbes adoptons un point pour origine et un sens positif de parcours.

Soient : s l'arc AM, 5, l'arc A« M,, ces deux arcs étant pris avec un signe, /la longueur MM|, 6 l'angle de MM, avec la direction positive de la tangente MT, 6, l'angle de M, M avec la direction