II. — FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. I

D'une façoD générale, une fonction de p variables indépendantes a autant de dérivées partielles d'ordre n qu'il y a de termes distincts dans un polynôme homogène d'ordre n à p variables,

c'est-à-dire

(n-^i)(n-\-i).,.(n-hp — 1)

1.1. . .(p — '^)(p — i) comme l'apprend la théorie des combinaisons.

Itègles pratiques. — On établit, dans tous les cours d'Algèbre, un certain nombre de règles pratiques pour le calcul des dérivées. Ces règles sont résumées dans le Tableau suivant ou on a mis sur la même ligne la fonction et sa dérivée

y^a-*^, y=aJ?loga, le signe log désignant le logarithme népérien,

y = sinjr, J' == ces a?,

^ = cosar, J''= — siria?,

y = arc sinar, y -

dz /i — X y = arc tangar, y' = —^ ,

y = uvy y' = u'v -\- uv\

u , u' V — uv'

Les dernières règles donnent la dérivée d'unejkwactfcn de fonction et d'une fonction composée! jjrâce àlTemploi de ces règles, on peut obtenir les dérivées suct&essives ^des fonctions que l'on étudie dans les éléments, polynômes, fonctions rationnelles et irrationnelles, exponentielle et logarithme, fonctions circulaires et fonctions inverses, et de celles que l'on obtient par leur combinaison.

12. Plan tangent à une surface. — De même que la dérivée G. a

l8 CHAPITRE I. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

d'une fonction d'une seule variable donne la tangente à une courbe, les dérivées partielles d'une fonction de deux variables interviennent dans la recherche du plan langent à une surface. Soit

(2) z=F(ar,7)

l'équation d'une surface S ; nous supposons que la fonction F est continue et admet des dérivées partielles continues en un point (^oj^o) du plan des xy^ auquel correspond la valeur >So pour z et un point Mo(^o> J^oj ^0) de la surface S. Considérons une courbe quelconque G située sur la surface et passant au point Mq, et soient

les coordonnées d'un point de cette courbe exprimées en fonction d'un paramètre variable t] f{t)^ 'f(0' ^(0 ^^^^ trois fonctions continues du paramètre t qui se réduisent respectivement à Xo, yoi ^0 pour une valeur particulière ^0 de /. La tangente à cette courbe au point M© est représentée par les équations (n** o)

(A^ ? — ^0 Y— ro Z — ^0

D'autre part, puisque la courbe C est située sur la surface S, on a la relation

qui doit être vérifiée, quel que soit t. Les deux membres doivent donc être identiques ; prenons la dérivée du second membre d'après la règle qui donne la dérivée d'une fonction composée, et faisons t z= Iq, Il vient

(5) f(^o)=/'(*o)F;.+ cp'(^o)F;,.

Entre les équations (4) et (5) on peut éliminer /'(^o)j ? (^o)> *y(^o)î et le résultat de l'élimination est

cette équation représente un plan, qui est le lieu des tangentes à toutes les courbes situées sur la surface et passant au point Mq. On l'appelle le plan tancent à la surface,

13. Passage des différences aux dérivées. — On a défini les dérivées