II. — FONCTIONS DE PLUSIEURS VARUBLES. I

(le proche en proche, les dérivées d'ordre n se déduisant des dérivées «l'ordre n — i, et ainsi de suite. II est naturel de se demander si Ton ne pourrait pas définir directement une dérivée partielle d'ordre n comme limite d'un quotient, sans passer par l'intermédiaire des dérivées d'ordre inférieur à n. Nous avons fait quelque chose de ce genre pour f%y{voir n** il), car la démonstration donnée plus haut prouve que/^^ est la limite du rapport

fix -4- \r, y -H Ay) ~/(a? H- Aa?, y) —.fjx, y H- Ay ) -t-/(ar, y)

^ Ly

lorsque A:r et ly tendent tous les deux vers zéro. On démontre de la même façon que fx\ est la limite du rapport

f{x H- Al -H A>) —/(a: H- A< ) —f{x -4- A>) -^fjx)

/il Aj

lorsque h^ et A| tendent l'un et l'autre vers zéro Si Ton pose, en effet,

ce rapport peut s'écrire

kJT, = h, ' o<e<i

00 encore f^r^k,^i^h^)-fi.^^h,) ^y.(,^fl,;t. + 6A.), ■ o<e'<,. ^

La limite de ce rapport est donc la dérivée seconde /^a, pourvu que cette dérivée soit continue.

Passons maintenant au cas général. Soit, pour fixer les idées,

une fonction de trois variables indépendantes. Nous poserons

^âw =Ax -^ ^j yy -5) — /(^, yy -)»

A*a)=/(ar,>'-+-A-, z)^f{^x,y, z), Ai o) =f{x, y,z-hl) —f{x, y, z);

aJu), Ayd), ACco sont les différences premières de a>. Si l'on considère /i, k, l comme des constantes données, ces trois différences premières sont elles-mêmes des fonctions àex, y y z, dont on peut prendre les différences relatives à des accroissements /it, Xti, Ix des variables, et l'on a ainsi les différences secondes aJ-'A^w, A^/ aJ.w, .... Le procédé peut se continuer indéfînimeiH; une différence d'ordre n se définira comme une différence première d'une différence d'ordre n — i. Gomme on peut intervertir l'ordre

de deux quelconques des opérations précédentes, il suffira d'indiquer les accroissements successifs attribués à chaque variable. Une différence d*ordre n sera représentée par un symbole tel que le suivant

A{«)a>= Ai' A*? . . . aVa*' . . . ^'^yS^^£ . . . Aiy(ar, j^, z) où p ^ q ^ r = n,

les accroissements A,-, A:/, // pouvant être égaux ou inégaux. Cette différence peut s'exprimer au moyen d'une dérivée partielle d'ordre n; elle est égale au produit

fif h\ • . . hp A i , . , kq il . , . If

tous les 6/ étant compris entre o et i. La formule a déjà été établie pour les différences premières et secondes. Pour démontrer qu'elle est générale, admettons qu'elle est exacte pour une différence d'ordre n — i, et soit

o(x, y, -s) = Ai« . . . A^'A*« . . . aJ^aI» . . . Sfif-, on aura, par hypothèse,

«p(ar, j', -«) = Aj . . . Ap A:i . . . A-y /i . . . lrfxr'*yizr(a:-h 6j Aj 4-. . .-+-6/, Ap,^H-. .. ). Mais la différence /i'*°^ considérée est égale à

et il suffit d'appliquer de nouveau la formule des accroissements finis à cette différence pour parvenir à la formule que l'on voulait démontrer. Inversement, la dérivée partielle /i^ij^sr est la limite du rapport

Aj' Aj» . . . aV A*' . . . A*y aO . . . Aly

rl\ fl^ . • • fin fCi Kf . • • Kq ^i • • • < /•

lorsque tous les accroissements A, A*, / tendent vers zéro.

Il est intéressant de remarquer que cette définition des dérivées partielles d'ordre supérieur est quelquefois plus étendue que la définition ordinaire. Considérons, par exemple, la fonction

où les fonctions <p(a?) et ^(y) n'admettent pas de dérivée. La fonction t«i n'admet pas non plus de dérivées partielles du premier ordre; il n'y a donc pas lieu a fortiori de parler des dérivées partielles du second ordre. Cependant, si Ton adoptait la nouvelle définition, on serait conduit, pour trouver /i^, à chercher la limite du rapport

fjar -^h^r-^ k) -f{x -4- A. y)-f(x, y -h k) ^f(x, y)