INTÉGRATION DBS FONCTIONS RATIONNELLES

il vient

et réquation cherchée est

Y= ^[ep'-he PJ— ^coshyp

Il est facile de construire cette courbe, qui porte le nom de chaînette; elle a une forme analogue à celle de la parabole.

108. Courbes unicursales. — Considérons maintenant d'une façon générale les intégrales de fonctions algébriques. Soient

l'équation d'une courbe algébrique, et R(^, y) une fonction rationnelle de a: et de j^; imaginons que dans K(x^y) on remplace j^ par une des racines de l'équation (6); le résultat est fonction de la seule variable x et l'intégrale

K{x,y)dx

est une intégrale abélienne attachée à la courbe (6). Lorsque la courbe donnée et la fonction R(x, y) sont quelconques, ces intégrales sont des fonctions transcendantes. Mais, dans le cas particulier où la courbe est unicursale, c'est-à-dire où les coordonnées ^ et ^ d'un point de cette courbe peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles d'un paramètre variable /, les intégrales abéliennes attachées à cette courbe se ramènent immédiatement à des intégrales de fonctions rationnelles. Soient en effet

les expressions des coordonnées x eX, y tn fonction de t] en prenant t pour nouvelle variable indépendante, on a

jK{x,y)dx^jK[f{t), ^(t)]f'{t)dt,

et la nouvelle fonction à intégrer est évidemment rationnelle. On démontre dans les Cours de Géométrie analytique {*) que

( * ) Voir par exemple Niewenolowski, Cours de Géométrie analytique, t. II, p. 99-114.

25o CHAPITRE V. — INTÉGRALES INDÉFINIE^.

toute courbe unicursale de degré n possède —- points

doubles, et que réciproquement toute courbe de degré n possédant ce nombre de points doubles est unicursale. Je rappellerai seulement comment on peut obtenir les expressions des coordonnées en fonction du paramètre auxiliaire. Étant donnée une courbe i.l„

de degré n, possédant 5 = — points doubles, par ces

8 points doubles et /? — 3 points simples de C^i faisons passer un faisceau de courbes de degré n — a; ces points déterminent bien un faisceau de courbes de degré n — 2, car

et il faut ^ — — — — points pour déterminer une courbe de

degré n — 2. Soit P(^, y) 4- ^Q(^j>')= o l'équation des courbes de ce faisceau, / désignant un paramètre arbitraire; chaque courbe du faisceau rencontre la courbe C» en n{n — 2) points, dont un certain nombre sont indépendants de /, les n — 3 points simples choisis et les 8 points doubles dont chacun compte pour deux points dMntersection. Mais on a

il reste donc un seul point d'intersection variable avec t. Les coordonnées de ce point sont données par des équations du premier degré dont les coefficients sont des polynômes entiers en t\ ces coordonnées sont donc elles-mêmes des fonctions rationnelles de t. On pourrait aussi employer un faisceau de courbes de degré

n — I passant par les - — II— ii ZI — i points doubles et 2// — 3

points simples pris à volonté sur C/«.

Si // = 2, on a^ =0; toute courbe du second

degré est donc unicursale, comme on Ta déjà observé. Si /t = 3,

on a ^^ — H— ^r^i; les courbes unicursales du troisième

degré sont donc celles qui ont un point double. Le point double étant pris pour origine, Téquation de la cubique est de la forme