I. — INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. l\y

Les fonctions qui figurent au second membre ont été appelées cosinus et sinus hyperboliques

coshypj? = ■ j sinhypa7= >

et nous pouvons écrire

x = a coshyp ^, y^h sinhyp ^.

Les fonctions hyperboliques jouissent de propriétés analogues à celles des fonctions trigonométriques (*); ainsi Ton a

cos* hyp X — sin* hy p a? = i ,

coshyp(a7H-^) = coshypa? coshyp^ -h sinhyp a? sinhyp^, sinhyp(a:-i-j)= sin hyp rr coshyp^ H- sinhyp^ coshyp 07.

On trouverait de même que les coordonnées d'un point d'une ellipse, exprimées au moyen de l'aire du secteur, sont données par les formules

a' = acos— r» v = 6sin— r-

ab '^ ab

Dans le cas du cercle de rayon un et dans le cas de l'hyperbole équilatère, de demi-axe égal à un, ces formules deviennent respectivement

jr = cos2S, ^srsinaS;

^=ïCOshypaS, ^rssinhypaS;

les fonctions hyperboliques jouent le même rôle pour l'hyperbole équilatère que les fonctions trigonométriques pour le cercle.

107. Rectification de la parabole. — Proposons-nous de trouver la longueur de l'arc de la parabole ipy = x*j compris entre le sommet O et un point M; on a

ou, en appliquant la formule (2)1

X ^x^ H- /?* j9, (x-\-yji

arcOM^-^^"^ ^ "- -h-^^log' ""^^'^

"jiPlX

ip 21 \ p

Le terme algébrique du second membre représente précisément la Ion-

(*) On trouvera, dans le Recueil des formules numériques de Houëi, une Table donnant les logarithmes de ces fonctions pour des valeurs positives de l'argument.

gueur MT de la tangente ; on sait en effet que OT = --; on a donc

MT» = y'*'

47* "^T ~" ÏP*

Joignons le point T au foyer F; Tangle MTF est droit et Ton a

On déduit de là une propriété curieuse de la parabole.

Imaginons que la parabole roule sans glisser sur l'axe Oj: et cherchons le lieu décrit par le foyer, supposé invariablement lié à la parabole.

Fig. 22.

Quand la parabole est tangente en M' à l'axe Oat, on a OM' = arc OM; le point T est venu au point T', tel que M'T'= MT et le foyer F est venu au point F' obtenu en portant une longueur T'F'=TF sur la parallèle à O^. Les coordonnées X, Y du point F' ont les valeurs suivantes :

X = arcOM-MT=|log(^-^^^'-^^-!), Y = TF= i //?«-+- x»,

et l'on obtiendra l'équation du lieu décrit par le foyer en éliminant x entre ces deux relations. De la première on tire

îX

X H- ^x^ -h p* =zpeP ,

et l'on peut joindre à cette équation

X — /x^H-/)* = — pe P, car le produit des premiers membres est égal à — p-. En les retranchant,