I. — INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. q

X = /^, le nombre entier D étant choisi de façon que les produits Da, Dor/, Da'', . . . soient entiers.

A ce dernier exemple on peut rattacher une catégorie de différentielles de la forme

a:'"(aa7'»H- b)P dx,

appelées différentielles binômes. Supposons les trois exposants m^ n, p commensurables ; si p est entier, d'après ce qu'on vient de voir à l'instant, on peut rendre cette différentielle rationnelle par un changement de variable tel que x = t^. Pour trouver de nouveaux cas d'intégrabilité, essayons du changement de

variable

ax'* -h b = t]

il vient

\ a / na \ a /

j X*" {ax'* -^ b)P dx = — / tr>( ^ j dt]

la nouvelle intégrale est de même forme que la première, et l'exposant qui remplace /7 est ici 1; on pourra donc achever

l'intégration si est un nombre entier.

D'autre part, l'intégrale peut s'écrire

/ ir'»-*-'»/*(a ■+- bx-'^)P dxy

et l'on voit qu'on a un nouveau cas d'intégrabilité lorsque = hP est un nombre entier. En résume, on

peut effectuer l'intégration lorsque Vun des trois nombres p^

m-4-im-f-i. ^ ^. /-, ,. ^, , »n»»

— — > \- p est entier, Les trois cas sont les seuls ou linlé-

grale s'exprime au moyen d'un nombre fini de symboles élémentaires lorsque m, n^p sont commensurables.

Pour effectuer l'intégration lorsqu'elle est possible, il est commode de ramener d'abord l'intégrale à une forme plus simple où ne figurent que deux exposants. Posons pour cela aa;" -^ bt; il

vient

.=(-).., rf- = „(-)<- dt.

En faisant abstraction du (acteur constant et posant

on est conduit à l'intégrale

ft^{\-^ t)Pdty

et les cas d'intégrabilité sont les suivants : Vun des trois nombres /?, q^ p -\-q doit être un nombre entier.

Si p est entier et ^ = -> on posera /= //*; si q est entier et ^ = - , on posera de même i -f- ^ = u^. Enfin, si p -^ q est entier,

on peut écrire l'intégrale

jt,.,(\±iYdt

et Ton n'a qu'à poser i -|- / = tu\ en supposant p r= -, pour faire

disparaître Tirrationalilé.

Prenons par exemple l'intégrale