II. - INTÉGRALES ELLIPTIQUES ET ULTRA-ELLIPTIQUES

110. Réduction des intégrales. — Soit P{x) un polynôme eiilier de dégrève?, premier avec sa dérivf^e. Une inlégrale

yR[ar, ^P{x)]dx,

où R désigne une fonction rationnelle de x et du radical^ = y/P(x), ne peut pas en général s'exprimer au moj^en des fonctions élémentaires, lorsque le degré de P{x) est supérieur à 2. Ces intégrales, qui sont des cas particuliers des intégrales abéliennes les plus générales, se décomposent en une partie algébrique et logarithmique, et en un certain nombre d'intégrales spéciales qui constituent des transcendantes nouvelles qu'on ne peut exprimer au moyen d'un nombre iini de symboles élémentaires. Nous allons exposer cette réduction.

La fonction rationnelle R(a:, j^) est le quotient de deux polynômes entiers en x et en y; en remplaçant une puissance paire de^, telle que ^^^, par [P(^)]^, et une puissance impaire, telle que^^^+*, 1>^T y[P(x)]f, on voit qu'on peut supposer les deux termes de la fraction du premier degré en j',

A, B, C, D étant des polynômes entiers en x. En multipliant les

deux termes par C — Dy et remplaçant de nouveau ^^ par P(^),

on peut encore écrire

F-f-Gr

et l'intégrale considérée se partage en deux autres^ dont l'une — =T-est l'intégrale d'une fonction rationnelle et dont la seconde

/ -~ dx^ qui peut aussi s'écrire

Mdx

M et N étant deux polynômes entiers en x^ doit seule nous

occuper. La fraction rationnelle -^ peut être décomposée en une partie entière E(j:) et en une somme de termes fractionnaires

chaque polynôme X/ étant premier avec sa dérivée. On n'a donc à considérer que deux sortes d'intégrales

__ ar"» d.r „ /* A dx

/xf»dT^ __ r Xdx

Les intégrales Y m s'expriment toutes au moyen des p — i premières Yo, Y<, . . . , Yp 2, et de quantités algébriques, si ^{x) est de degré p.

Soit, en effet,

P(ar)= aoxP -h UixP-^ -+-

On a

d / ■ ,^, — \ , /ST-^ xf*^V'(x) -f\x"^yJV{x)) = mx»^-^yJP{x)'\ -^ —

imx"^-^P(T)->r x^^P'ir ) i^PIx)

le numérateur est un polynôme de degré m -{-p — i dont le terme de degré le plus élevé est (2m '^p)aoX'^'^P~* . Il vient, en intégrant les deux membres de l'égalité précédente,

^x'» ^P (x) = (^m -^ p)aoY m+p-i -^ ' "

les termes non écrits contenant les intégrales Y d'indice inférieur à m-^p — I. Faisons successivement dans cette formule m = o, I, 2, ..., nous pourrons calculer de proche en proche Yp<, Y^, . . ., au moyen d'un terme algébrique et des p — I intégrales Yo, Y,, ...,Yj,2.

Relativement aux intégrales de la seconde forme, il y a deux cas à distinguer, suivant que X est premier ou non avec P(^).

I** Si X est premier avec P(^), l'intégrale Z/, se ramène à un terme algébrique, à une somme d'intégrales Ya, et à une nouvelle intégrale

Bdx

X)/P{x) où B est un polynôme d'un degré inférieur à celui de X.