L'intégrale défînie / , . , a-t-elle une valeur finie

J^ i-Har^sin*a:

19. L'aire d'un secteur elliptique compris entre Taxe focal et un rayon vecteur issu du foyer a pour expression

2 Jo (l-+-

diù

e costo)*

EXERCICES. '^8f

p désignant le paramètre — et e l'excentricité. En posant suivant la mé-

ouve

ihode générale tang - ~ f, puis, t — 4 / m, on tr

A, -- a6f arc lang M — e - ~^y

Démontrer que cette expression peut aussi s'écrire

. ah , . ^

cV, = — ( o — csino),

o désignant l'anomalie excentrique.

20. Trouver les courbes telles que la longueur NT ou l'aire du triangle

MNT soit constante (voir^î^. 3, p. 36). On construira les deux branches

de la courbe.

\Liccnce : Paris, i88o; Toulouse, i88-2.]

a.î/i-^1 ri

•21. SoitA,= ^ g----J^ (i-z*)'>cosTzdz.

Démontrer la loi de récurrence

ar On déduit de là les formules

Ajp — Uip sinar -i- \\p cosar, A-s/j-hi = Uî/»-f-i sina? -h Vj^+j cos.r,

où Uiy,, \tpi ^ip^ij ^ip-^i sont des polynômes à coefficients entiers, Utp^ Usp+t ne renfermant que les puissances paires de x. On vérifie que la loi est vraie pour /i = i, et l'on en déduit qu'elle est générale au moyen de la formule de récurrence.

Cette expression de X^p permet de démontrer que i:* est incommensu-

rable. Si l'on avait ~ = — , en remplaçant a? par - dans Aj;,, on aurait

une relation de la forme

Ht étant un nombre entier. Une telle égalité est impossible, car le second membre tend vers zéro lorsque ;d augmente indéfiniment.