I. — PROCÉDÉS DE CALCUL. — FORMULE DE 6RBEN

soit égale à Tintégrale / /(^/«i, y)dyi rintégrale étant prise

en regardant Xi x comme constant. Si nous opérons de même avec toutes les files de rectangles comprises entre deux parallèles voisines à Oy, nous pouvons écrire

(5) S = *(a-o)(^i— ^o)-H*(a:,)(j7j— a?! )-^. . . -h*(jr/i)(a:t-— ar/i)-+-. . ., en posant, pour abréger,

Cette fonction ^(a:), représentée par une intégrale définie, où x est considéré comme un paramètre, est une fonction continue de x\ lorsque tous les intervalles xi — Xi x tendent vers zéro, la formule (5) montre que S a pour limite l'intégrale définie

dx.

On a donc pour Tintégrale double cherchée

pour avoir la valeur de l'intégrale double, on doit d'abord intégrer/{x, y) entre les limites y ^ etY^ ^ny regardant x comme constant et y comme variable : le résultat est une /onction de la seule variable Xy que l'on doit intégrer de nouveau entre les limites XoCt^.

En opérant dans l'ordre inverse, c'est-à-dire en évaluait d'abord ia portion de S provenant d'une file de rectangles comprise entre deux parallèles à O^, on trouverait de même

/ / f{x^y)dxdy= f <iy f A^yy)^f

*^ *^(R) «-Vo *^-«'«

et le rapprochement de ces deux formules permet d'écrire f dx I f{x,y)dy= l dy l f{x,y)dx\

le théorème exprimé par cette formule s'appelle le théorème dUntégration sous le signe j . La démonstration suppose essen-

ago

tiellement que les limites Xq, X, y^, Y sont des constantes et que la fonction y( a:, ^) est continue dans le champ d'intégration.

Exemple. — Soit z= — • La formule générale nous donne

D'une façon générale, lorsque la fonction f{Xy y) est le produit d'une fonction de la seule variable x par une fonction de la seule variable y, on a

les deux intégrales du second membre sont absolument indépendantes l'une de l'autre.

124. Passons maintenant au cas oCi le champ d'intégration est limité par un contour de forme quelconque. Mous supposerons d'abord que ce contour n'est rencontré qu'en deux points par une

Fi g. 25.

JC^

Xi,

Cl Î

parallèle à Oy» On peut alors le supposer formé par deux droites x = a, X = b(a<ib)y deux arcs de courbe APB, A'QB' représentés par les deux équations^! = Çi (j?), y2^^^ 02(^)9 l^s fonctions '^1 et (f2 étant continues entre a et 6; il pourrait d'ailleurs se faire que les points A et A' se confondent, ainsi que B et B'; c'est ce qui aurait lieu, par exemple, si le contour était une courbe