I. — PROCÉDÉS DE CALCUL. — FORMULE. DE GREEN. 29I

convexe, analogue à une ellipse. Décomposons encore le champ d'intégration R en parties plus petites par des parallèles aux axes; nous aurons d'abord des parties régulières, qui seront des rectangles intérieurs au contour, et en oulre des parties irrégulières, c'est-à-dire des portions de rectangle, limitées en partie par des arcs du contour. Nous avons encore à chercher la limite de la somme

M étant l'aire d'un quelconque de ces éléments, et (Ç, t)) un point pris dans cet élément.

Évaluons d'abord la portion de S provenant d'une (île d'éléments compris entre les deux parallèles voisines x = ^i i , x == Xi. On a d'abord entre ces droites des rectangles allant du sommet

d'ordonnée jk'î=^i au sommet d'ordonnée ^2 £^a> puis des parties irrégulières. En prenant convenablement le point (Ç, Tj).dans chaque rectangle, on verra comme tout à l'heure que la portion de S provenant de ces rectangles peut s'écrire

Supposons que l'oscillation des deux fonctions cpi et ^3 dans chacun des intervalles (X|„4, xi) soit moindre que 5, ainsi que toutes les différences {y/( — yk-\)' L'aire des parties irrégulières comprises entre x^=^Xi x cl x^=^Xi est alors, comme on le voit aisément, inférieure à 4 8(^/ — ^/-i )? et la portion de S provenant de ces parties est moindre en valeur absolue que 4 H 8 (a:/ — Xi\ ), H étant la limite supérieure de la valeur absolue de f{x^ y) dans le champ d'intégration. D'autre part, on peut écrire

/i^i-iyy)dy = I A^i-uy)dy-h I -\- f , VI «Oi *^y\ ^y%

et comme \y^ — y\ \ et \y^ "-.X2 1 ^^^^ inférieurs à 2 0, on a

I f(,Xi-uy)dy= j f{xi^x,y)dy-^\li\^y — i<X<-m. La portion de S qui provient de la flie d'éléments considérée peut

donc s'écrire

6/ étant compris entre — i et H- i . La somme 8 H oSO/(a;/ — Xi^i ) est moindre en valeur absolue que 8 H 5(6 — a) et tend vers zéro puisque l'on peut supposer 8 aussi petit qu'on le veut. L'intégrale double est donc la limite de la somme

*(a)(a7i — a) -h., .-f- 4>(a:/i)(jri — a7,i)-î-. . .

en posant

on a, par conséquent,

(7) 1 f A^yy)dxdy= 1 dx l f{x,y)dy.

La première intégration doit encore être effectuée en regardant x comme constant, mais les limites y^ et y^ sont elles-mêmes des fonctions de x^ et non des constantes.

Exemple. — Soit à calculer Fintégrale double de la foaction — à l'intérieur d'un quart de cercle limité par les axes et la circonférence

Les limites pour x sont o et R, et, x restant constant, y peut varier de o à /R* — a:'. L'intégrale a donc pour expression

cette intégrale s'obtient aisément et a pour valeur ^r— •

^ Sa

Lorsque le champ d'intégration est limité par un contour de forme quelconque, on le décomposera en plusieurs parties, de façon que le contour de chacune d'elles ne soit rencontré qu'en deux points par une parallèle à l'axe Oy, On pourrait aussi le décomposer en parties telles que le contour de chacune d'elles ne soit rencontré qu'en deux points par une parallèle à Ox, et commencer par une intégration relative à la variable x. Prenons, par exemple, une courbe fermée convexe comprise à l'intérieur du