INTÉGRALES DE SURFACE

133. Intégrales où le champ est infini ou la fonction discontinue.

— So\lf{x^y) une fonction continue dans toute la portion du plan extérieure à une courbe fermée F. L'intégrale double de /(•2C,>'), prise dans la région comprise entre F et^une autre courbe fermée C extérieure à F, a une valeur finie. Si cette intégrale tend vers une limite lorsque la courbe C s'éloigne indéfiniment dans tous les sens, cette limite est, par définition, l'intégrale double de /(x, y) étendue à la région du plan extérieure à F.

Supposons d'abord que la fonction f{x^ y) conserve un signe constant à l'extérieur de F, par exemple soit positive. Dans ce cas, la limite de l'intégrale double est indépendante de la forme de la courbe limite G. Soient en effet C|, C2, . . ., C/,, . . ., une suite de courbes fermées s'enveloppant mutuellement, de telle façon que Cn s'éloigne indéfiniment lorsque n croît indéfiniment. Si l'intégrale double I,/ étendue à la région comprise entre F et Cn tend vers une limite I, il en sera de même pour toute autre suite de courbes C'^ , C!,, . . . , CJ,,, . . . , satisfaisant aux mêmes conditions. Soit r^ l'intégrale double étendue à la région comprise entre F et C'„,; on peut choisir n assez grand pour que la courbe G» soit tout entière extérieure à C^,^. On aura donc I^<;I/i<;I. D'ailleurs I'^ augmente avec m; elle a donc une limite T^I- On démontrerait de même que Ton a I^l'- Par conséquent, les deux limites sont égales 1'= L

m. — EXTENSION DE LA NOTION D*INTÉGRALE DOUBLE. 3l3

Par exemple, soity(j:, ^) une fonction qui, à Texlérieur d'un cercle de rajon r ajant pour centre Torigine, est de la forme

le numérateur ^(^, y^ restant compris entre deux nombres positifs m et M. Prenons pour les courbes C des circonférences concentriques à la première. L'intégrale double, étendue à la couronne circulaire comprise entre les deux cercles de rajon r et R a pour

expression

^t|;(pcosa>, psin(D)p<fp^

elle est donc comprise entre les deux intégrales

Cette intégrale a une limite lorsque R augmente indéfiniment, pourvu que l'on ait 2a — i > i, ou a > i (n® 90). Elle augmente indéfiniment avec R, si a est 5 i .

Lorsqu'on ne peut trouver aucune courbe fermée à l'extérieur de laquelle la fonction y*(j7, y^ conserve un signe constant, on démontre comme plus haut (n° 89) que l'intégrale / j f{3C^y)dxdy

a une limite lorsque l'intégrale / / \f{oc^y)\ dxdy a elle-même

une limite. Mais, lorsque cette dernière intégrale augmente indéfiniment, la première intégrale est indéterminée. En voici un exemple intéressant, dû à Cayley. Soit /(x, j^)= sin(^-4-^^); si nous intégrons d'abord à l'intérieur d'un carré de côté a, nous trouvons pour l'intégrale double

\ dx j sin(x*-^y*)dy

sina7*éfj?x / cos^'cÇ;^-H / cosa:*</a7X / ^xny^dy.

Lorsque a augmente indéfiniment, les intégrales qui figurent au second membre ont une limite (n° 91). On démontre que cette

limite est égale ài/-> et le second membre a pour limite ii. Au

3l4 CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

contraire, si l'on intègre à Tintérieur d'un cercle de rayon R, on a pour l'intégrale double

I dtû I psinp«<fp = — / [cospîj'^rr - [i — cosR'J,

et le second membre est indéterminé lorsque R croît indéfiniment.

On définira de la même façon l'intégrale double d'une fonction/(a?, ^) qui deviendrait infinie en un point ou tout le long d'une ligne. Pour cela, on commencera par enlever le point ou la ligne du champ d'intégration en les entourant d'un contour très petit, ou très voisin de la ligne de discontinuité, que l'on fera ensuite diminuer indéfiniment. Par exemple, lorsque, dans le voisinage d'un point (a, è), la fonction /(x^y) peut s'écrire

OÙ la valeur absolue de ^{oc^ y) est comprise entre deux nombres positifs m et M, l'intégrale double de f{x^ y), dans une région qui ne contient pas d'autre discontinuité que le point (a, 6), a une valeur finie pourvu que a soit inférieur à un, et dans ce cas seulement.

134. La fonction B(/7, q). — On a supposé plus haut que le contour G« s'éloignait indénniment dans toutes les directions; mais il est évident que Ton peut aussi supposer qu'une portion seulement de ce contour s'éloigne à l'infini. C'est ce qui a lieu dans l'exemple ciié de Gayley, et aussi dans le suivant. Soit

où l'on suppose 7? > o, y > o; cette fonction est continue et positive dans l'angle xOy. Si nous intégrons d'abord à l'intérieur du carré de côté a, formé par les axes et les droites ar = a, j' = a, on a pour valeur de l'intégrale double

f 2 x^P- < c-'* dxx I aj*^-* e-y* dy ;

chacune des intégrales du second membre a une limite lorsque a augmente indéfiniment. En effet, si, dans l'intégrale qui définit la fonction r(/>) (n'^GS)

r(/?)= / tP-^e-^dt,