II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 3 II

Exemples. — i° Soit à trouver l'aire d'une portion de surface représentée par l'équation z =/(xy y), qui se projette sur le plan xOj^ suivant une région R oh la fonction /{x, y) et ses déri«-

vées p z= J- et g = j- sont continues. En prenant x el y pour

variables indépendantes, on a E = i -h/?*, F = pq^ G = i -|- qr^, et l'aire cherchée est représentée par l'intégrale double

(3o) \ = ff^\-^p^^q^dxdy^ r r dxdy

(R) ^ '^iR)

cosY

Y désignant l'angle aigu que fait avec O^ la normale à la surface. 2° Soit à calculer l'aire d'une portion de surface de révolution comprise entre deux parallèles. Prenons pour axe des z l'axe de la surface, et soit z=f[x) l'équation de la méridienne dans le plan des xz. Les coordonnées d'un point de la surface sont

en prenant pour variables indépendantes les coordonnées polaires p et (o de la projection sur le plan xOy. On a ici

éfs* = rfp» [i -+-/'»( p)] -h p*c?a)*, E = i-h/'«(p), F=o, G = pî.

Pour obtenir la portion de surface comprise entre les deux parallèles de rayon pi et p2(pi'<p2)9 îl fs^ut évidemment faire varier p de pi à p2 et co de zéro à 217. On a donc, pour l'aire cherchée,

*l,= / dp I p /i-h/''(p)efoj = aie / p/i-h/'*(P)^P»

et l'on a une seule quadrature à effectuer. En désignant par s l'arc de la méridienne, on a

ds^=zdp*-hdz^=dpi[i-i'f*(p)], et la formule précédente peut s'écrire

o,\o = / iTZp ds.

L'interprétation géométrique est immédiate; ^i^pds est la sur-

face latérale d'un tronc de cône dont le côté serait ds et dont la circonférence moyenne aurait pour rayon p. En assimilant l'aire comprise entre deux parallèles infiniment voisins à l'aire latérale d'un tronc de cône, on retrouve précisément la formule qui donne (A>.

Par exemple, l'aire de la calotte d'un paraboloïde de révolution, engendré par la rotation de la parabole x^ = 2/75, comprise entre le sommet et le parallèle de rayon r, a pour valeur