III. — EXTENSION DE LA NOTION D'iNTÉGRALE DOUBLE. 3l
prendre deux valeurs, suivant le côté de la surface que ron considère. Dans le cas considéré jusqu'ici, où l'angle y est aigu, nous dirons que l'intégrale double (35) ou (36) est l'intégrale de surface
(37) JJ^{x,y,z)dxdy,
étendue au côté supérieur de la surface S. Mais si Ton prend pour ^ l'angle obtus^ tous les éléments de l'intégrale double seront changés de signe et l'on dira que la nouvelle intégrale double représente l'intégrale de
surface / / P cb: dy étendue au côté inférieur de S. En résumé, l'intégrale de surface / / V dx dy est égale à dz l'intégrale double (35), suivant le côté de la surface S sur lequel on la prend.
Cette définition permet de compléter l'analogie entre les intégrales simples et les intégrales doubles. Ainsi, dans une intégrale simple, on change le signe en renversant les limites, tandis que jusqu'ici nous n'avons rien vu d'analogue pour les intégrales doubles. Avec la défînition généralisée d'intégrale double, on peut dire que l'intégrale / 1 /{x, y) dxdy,
que nous avons étudiée jusqu'ici, est l'intégrale de surface étendue au côté supérieur du plan des xy, tandis que la même intégrale changée de signe représente l'intégrale double prise sur le côté inférieur. Aux deux sens de parcours pour une intégrale simple correspondent les deux côtés du plan des xy pour une intégrale double.
L'expression (36) d'une intégrale de surface n'exige pas évidemment que la surface ne soit rencontrée qu'en un point au plus par une parallèle à Oz. On définira de la même façon les intégrales de surface
J J 0.(^,^7 ^)dydz, j jK{x,y, z)dxdz,
et l'intégrale plus générale
/ j V {x, y y z) dx dy -\- Q(a7, y, z)dydz -h R(x, y, z)dzdx\
celte dernière peut encore s'écrire
[P cosY -h Q cosa -h R cos p] rfs*,
a, 3, Y désignant les angles que fait avec les axes la direction de la normale qui correspond au côté choisi sur la surface.
Les intégrales de surface sont surtout utiles en Physique mathématique.
136. Formule de Stokes. — Soit L une courbe gauche, le long de laquelle les fonctions P(ar, ^, z), Q{x, y^ z), R(ar, ^, s) sont continues.
3l8 CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOURLES.
L'intégrale curviligne
prise le long de L, se défînit comme une intégrale curviligne prise le long d'une courbe plane (n** 93), et nous n'y reviendrons pas. Si la courbe L est fermée, elle se décompose évidemment en trois intégrales curvilignes prises le long de courbes planes fermées. En appliquant à chacune d'elles la formule de Green, on voit qu'on peut remplacer cette intégrale curviligne par la somme de trois intégrales doubles. L'introduction des intégrales de surface permet d'énoncer très simplement le résultat.
Étant donnée une portion de surface S ayant deux côtés, que nous supposerons, pour fixer les idées, limitée par une seule courbe F, à chaque côté de la surface correspond un sens de parcours direct sur le contour F. Nous ferons la convention suivante : En un point M du contour menons la direction M n de la normale qui correspond au côté considéré, et imaginons un observateur ayant les pieds en M et la tête en n. Nous appellerons sens direct le sens dans lequel cet observateur doit décrire F pour avoir à sa gauche la surface S. Aux deux côtés de la surface S correspondent deux sens directs opposés sur le contour F.
Cela posé, considérons d'abord une portion de surface S qui n'est rencontrée qu'en un point au plus par une parallèle à Oz et supposons le trièdre Oxyz ayant la disposition indiquée par W fig, 3o.
Fi g. 3o.
Au contour F de S correspond un contour fermé G sur le plan des xy^ et ces deux contours sont décrits en même temps dans le sens indiqué par les flèches. Désignons par P(a:, y, z) une fonction continue dans une portion de l'espace renfermant S et par z — o(x,y) l'équation de celte
surface. L'intégrale curviligne / P(j7, y^ z)dx est identique à Finie-
m. — EXTENSION DE LA NOTION d'iNTÉGRALE DOUBLE. 3l9
grale curviligne
prise le long de la courbe plane G. Appliquons à cette dernière la formule de Grcen (n** 126) en posant, pour plus de précision,
On a
dV{x,y) dV dV d<p ^P c^P cos p dy " dy dz dy dy dz cos y
en appelant a, p, y les angles que fait avec les axes la direction de la normale correspondant au côté supérieur de S, et la formule de Green donne
l'intégrale double étant étendue à la région  du plan intérieure au contour G. Le second membre n'est autre chose que l'intégrale de surface
prise sur le côté supérieur de S, et nous pouvons écrire
Je r ràp dP ' P(x, y, z) dx =i I I -rr-dzdx r-dxdy. (D -^ J J,^)àz dy ^
La formule subsiste évidemment quand on change le côté de la surface, pourvu qu'on change en même temps le sens du parcours de F, et elle s'étend comme la formule de Green à une surface de forme quelconque. En permutant circulairement x^ y, Zy on a deux formules toutes pareilles
J^^Q(x, y,z)dy =JJJ^ dxdy-^-^dy dz, J^^R(^,y,z)dz=f£^dyd,-^^dxdz;
en les ajoutant, on parvient à la formule générale de Stokes
J' P(^i>^, z)dx-hQ(x,y, z)dy-+- R(a:, j, z)dz (F)
Le sens de parcours du contour (F) et le côté de la surface auquel on étend l'intégrale double se correspondent, comme nous Favons indiqué.
