IV. — APPLICATIONS ANALYTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES

137. Calcul des yolumes. — Considérons, comme plus haut, une portion de l'espace limitée par une surface S située au-dessus du plan xOy^ ce plan lui-même et un cylindre ayant les génératrices parallèles à 0^ ; nous supposerons que la section par le plan 5 = 0 est un contour tel que celui de \9ifig. 23 formé de deux parallèles à Taxe Oy et de deux arcs de courbe APB, A'QB'. Si z =/(:c, y) est Péquation de la surface S, le volume ainsi limité a pour expression (n° 124)

y^ C dx f 'f{x,y)dr.

Mais rintégrale / y(^, y)dy représente l'aire X de la section

faite dans ce volume par un plan parallèle au plan des yz^ et la formule précédente peut s'écrire

(89) V = / Xdx,

Or un volume limité d'une façon quelconque est égal à la somme algébrique d'un certain nombre de volumes limites comme le précédent. Par exemple, pour évaluer le volume limité par une surface fermée convexe, on peut circonscrire à cette surface un cylindre ayant ses génératrices parallèles à 0.3, et l'on aura à calculer la différence de deux volumes tels que le premier. La formule (Sg) s'applique donc à tout volume compris entre deux plans parallèles x =^ a^ x •=^ b {a <i b) et une surface de forme quelconque, X désignant l'aire de la section faite dans ce volume par un plan parallèle aux premiers. Supposons l'intervalle (a, b) * décomposé en intervalles plus petits a, X\^ x^^ . . ., :r«i, è, et soient X^^ Xi, . . ., al)/, . . ., les aires des sections correspondant

aux plans x = «, ^ = .r^ , .... L'intégrale définie / X dx est la limite de la somme

X{i{xx — a) -h X\{x% — a^i) 4-. . .4- Xi--\{xi — ^1—1). . -,