INTÉGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

Nous choisissons les notations de façon que l'on ait z^ <^2a, et

z\ <C z'^. Au point /Wi, les formules (8) font correspondre le point m\ ou le point m^. Pour distinguer les deux cas, il suffit de

consulter le signe de t^« Si j^, est positif, z augmente avec z'\ les

points fUt et m\ se correspondent, ainsi que les deux points m^ et

m^. Au contraire, si —7 est négatif, z diminue quand z' augmente;

mi correspond à m'.^ et m^ à m\. Dans le premier cas, on a

dans le second cas on a, au contraire^

f \{x,y,z)dz--^ f F[x,y,^{x,y,z')]^,dz\

Dans les deux cas, nous pouvons écrire

' F{x,y,z)dz^. j F[x,y,i{x,y,z')]

dz'

dz\

Si nous prenons maintenant les intégrales doubles des deux membres de cette égalité dans la région A, l'intégrale double

f f dxdy j F(T,y,z)dz,

n'est autre chose que l'intégrale triple / / l ¥{x^yj z) dx dy dz^

prise dans la portion (E) de l'espace. De même l'intégrale double du second membre de (9) est égale à l'intégrale triple de

prise dans (E'), comme on le voit en remplaçant x par x'^ et y par y . On a donc, dans ce cas particulier,

/ / / F(x,y, z)dxdydz

dz'

dx'dy'dz:

34^ CHAPITRE Vil. — INTÉGRALES MULTIPLES.

or ici le déterminant ^ T'*^/ ^; se réduit à^- La formule (7)

est donc établie pour les changements de variables de la forme (8). La formule générale (7) s^applique encore aux changements de variables définis par les formules

(10) X =/(ar', y, z% y = K>{x\ y\ z'), z = z\

OÙ la variable z ne change pas. Nous supposons que ces formules font correspondre point par point deux réglons (E), (E') de l'espace, et, en particulier, que les sections R, IV faites dans (E), (E') par un même plan parallèle au plan 5 = o se correspondent point par point. On a donc, d*après la formule du changement de variables dans une intégrale double,

/ / ^{^yy, z)dxdy

dx'dy';

les deux membres de cette égalité dépendent seulement de la variable z = z'. Si Ton intègre de nouveau entre les limites Z| et Z2', entre lesquelles peut varier z dans la région (E), Tégalité obtenue peut s'écrire

1 f f \ ¥{x,y,z)dxdydz (12)) ^^•^•^«E)

dx'dy dz\

Or on a ici v^ , , , ' A ^^ wt^— A» de sorte que la formule (7)

iy{x\y',z') D(a:',y) ^ ^^'

s'applique encore aux changements de variables de la forme (10). Nous allons montrer maintenant que tout changement de variables

(i3) x=^f(xx,yu z^), y = ^{^\,y\yZx), a^iKar,,^,, 5,)

peut s'obtenir par une combinaison des précédents. Posons, en effet, x'^=Xiy y'=yi^ z^=z; la dernière équation (i3) peut s'écrire z'^=-^^{x'^yy Zi) et l'on en tire 5i = 7t(x', j^', z'). Les formules (i3) peuvent alors être remplacées par le système des six