I. — INTÉGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

équations

(i4) x=f\x\ y, i:{x', y, z')], y = ^[x\ y\ tz{x\ y, z')], z = z\ (i5) x'^xu y = y\> ^' = ^{x^^yu Zi)\

la formule générale (7) s'applique, on vient de le voir, aux transformations définies par les formules (i4) et (i5), et par conséquent aussi au changement de variables (i3).

On pourrait encore, comme le lecteur le prouvera aisément, remplacer la transformation générale (i3) par une suite de trois transformations telles que (8).

146. Élément de volume. — Faisons F(^, y^ z)=^i dans la formule (7); il vient

f f f dxdydz= Ç Ç Ç \^y''^'^^}duds;dw.

Le premier membre est égal au volume V de la portion (E) de Tespace et, en appliquant le théorème de la moyenne à l'intégrale du second membre, on parvient à la relation

V| étant le volume de (E|) et Ç, tj, Ç les coordonnées d'un point de (E|). Cette formule est entièrement analogue à la formule (17) du Chapitre VI et nous montre que le déterminant fonctionnel est la limite du rapport des volumes infiniment petits correspondants.

Si dans les formules (6) on attribue à l'une des variables </, i^, w une valeur constante et qu'on fasse varier les deux, autres, on obtient trois familles de surfaces u = const, v = const, w ^= const, qui décomposent la région (E) en petits solides à six faces, analogues aux parallélépipèdes de tout à l'heure. Le volume du petit solide, compris entre les surfaces (u), (w-t-rfw), (i^), {^^ -{- dv)^ («p), {w-}- dw)^ où rfw, rfp, dw sont positifs, a pour expression, d'après la formule (16),

?^j2j^r^Adud.d..,

t étant infiniment petit, en même temps que du^ dv^ dw. On

peut négliger, comme on l'a déjà expliqué plusieurs fois (n® 128) le terme e du dv dw, et le produit

du dv dw

s'appelle Vêlement de volume dans le système de coordonnées curvilignes (a, p, w).

Soit ds^ le carré de l'élément linéaire dans le même système de coordonnées; on déduit des formules (6)

dx^-^-du-^-^dv-h-xr- dw, ou ov ow

dy^^^du

et, en élevant au carré et ajoutant, il vient

en posant

ds^ — Hi du^ -^ Hî dv^ 4- Hj dw^ -h aFi dç dw aFj du dw -h aFg du dv^

/âxY-

«■'<%)'■ h.=Kt:)''

dx dx ou ow

ç^dx dx

le signe S indique toujours qu'on doit remplacer x par^, puis par jS, et faire la somme. La formule qui donne dV se déduit très aisément de la formule qui donne ds^; on trouve, en effet, en faisant le carré du déterminant par la règle habituelle,

ày

du.

H i r* 3 Fj

dx dv

ày

àv

dz dv

F3 Hj Fj

ày

Fj Ft Hj

et l'élément de volume est égal à y/M du dv div.

Considérons en particulier le cas très important où les surfaces coordonnées (w), ((^), (w) forment un système triple orthogonal, c'est-à-dire où les trois surfaces qui passent par un point quelconque de l'espace s'y coupent deux à deux à angle droit. Les tangentes aux courbes d'intersection des trois surfaces prises deux à deux forment alors un trièdre trirectangle ; il faut donc