II. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES
Maïs on a^ d'après la condition d'intégrabilité (4^)»
et la relation précédente se réduit à
Le second membre ne dépend que dej^î il y a donc une infinité de fonctions de y qui satisfont à cette relation. Elles sont comprises dans la formule
Y--= f Q{xo,y)dy-^C,
Yq étant une valeur particulière de^, et C une constante arbitraire. 11 existe donc une infinité de fonctions u{x, y) satisfaisant à Téquation (40' ^''^^ ^onl données par la formule
(44) u= f P{x,jr)dx-^ f Q{xo,y)dy^C,
et ne diffèrent Fune de l'autre que par la valeur de la constante additive C.
Soit, par exemple,
la condition (43) est vérifiée, et l'on a, en posant ^Cq:^ o, ^o= <>
En efiectuant les intégrations indiquées, il vient
a = - [log(a?*-hj'')]f-h m( arc tang- ) -+-log^-h G, ou, en réduisant,
a — - log(a7*H-^*) -H m arc tang — h C. 2 y
La méthode précédente s'étend au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Nous développerons encore les calculs
pour trois variables. Soient P, Q, R trois fonctioDs de x^ y^ z, l'équation aux difTérenlielles totales
(45) du^P dx-^-Çldy-^^dz
est équivalente à trois équations distinctes
au -^ àvL du.
En calculant de deux façons différentes les dérivées ^ — -r-y
àx oy
T—^y j—j-^ ^^ obtient trois conditions pour que le problème soit possible
Supposons-les satisfaites. D'après la première, il existe une infinité de fonctions u{Xy y y z) dont les dérivées partielles par rapport k x ety sont respectivement P et Q ; elles sont comprises dans la formule
dP dQ
àP dR
dQ dH
dy ~~ àx
dz ^ dx*
dz dy
u= f P(x,y,z)dx-^j Q(xo, 7, ^)c(^-+-Z,
Z désignant une fonction arbitraire de z. Pour que la dérivée 3soit égale à R, il faut, de plus, que l'on ait
'^dQ(xo.r.z) ^ . dZ condition qui se réduit, en tenant compte des relations (47)) ^
dX.
ou
^ =f^{xo,yQ,z).
On en conclut qu'il existe une infinité de fonctions u{Xf y, z) satisfaisant à l'équation (4^)) ^l'^s sont représentées par la formule
P(x,y,z)dx-h I Q{:x;o,y,z)dy'^ 1 R(xoty%, t)dz -h C,
