II. - INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

151. Méthode générale. — Soient P(a;, y)^ Q(^> y) deux fonctions des deux variables indépendantes x eiy^ l'expression

Pdx-hQdy

n'est pas en général la différentielle totale d'une fonction des deux variables ^, ^. En effet, l'équation

(4i) du = Pdx^qdy

est, comme l'on sait, équivalente à deux équations distinctes

différentions la première par rapport ky, la seconde par rapport kx^ nous voyons que u{x^y) doit satisfaire aux deux relations

dx ùy dy ày dx dx

Pour qu'il existe une fonction u{x^y) répondant à la question, il faut donc que Ton ait identiquement

^^^ ôy dx

Cette condition nécessaire est aussi suffisante. En effet, il existe une infinité de fonctions u(x^y) dont la dérivée partielle par rapport à X est égale à P{Xyy); toutes ces fonctions sont contenues dans la formule

u= f F(x,y)dx-^Y,

Xq étant une constante choisie à volonté, et Y une fonction arbitraire de la variable y. Pour que celte fonction u{x,y) vérifie l'équation (4i)> ^' ^^^^ ^^ ^' suffit que sa dérivée partielle par rapport ky soit égale à Q(^, y)y c'est-à-dire que l'on ait