II. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

Exemple. — L'intégrale curviligne

^""'^"^ X dy — y dx

présente un seul point critique, l'origine. Pour avoir la période correspondante, intégrons le long du cercle x^-^y^^^^'-\ on a

ar — p cosco, y=psîna), x dy — ydx = ^^d(»>,

f dto -^ 211. La vérification est immé-

diatCy car on a sous le signe / la diflFérentielle totale de arc tang— •

154. Racines communes à deux équations. — Soient X, Y deux fonctions continues des variables x, y, dans une région A limitée par un seul contour fermé G; nous supposons que les dérivées partielles du premier ordre sont aussi continues.

L'expression — ^^ ~V2~ satisfait à la condition d'intégrabilité, car

Y elle est la difTérentielle totale de arctang:^- Il s'ensuit que l'intégrale

définie

r\ rfY - Y dX (53, f -x^^-Y^'

'(Cl

prise le long du contour G dans le sens direct, est nulle si les coefficients

de dx et de dy sous le signe / restent continus à l'intérieur de G, c'est-

à-dire si les deux courbes X = o, Y = o n'ont aucun point commun à l'intérieur de ce contour. Mais si ces deux courbes ont un certain nombre de points communs a^ b, c, . . ., l'intégrale (53) est égale à la somme des intégrales prises dans le sens direct le long des petites circonférences décrites

des points a, 6, c, , comme centres. Soient (a, P) les coordonnées d'un

de ces points communs; nous supposerons qu'en ce point le déterminant

D(X \) fonctionnel .^\ — ^ — ; n'est pas nul, c'est-à-dire que les deux courbes X = o,

Y = o ne sont pas tangentes en ce point. Nous pouvons alors décrire du point (a, P) comme centre un cercle c de rayon assez petit pour que le point X, Y décrive autour du point (o, o) une petite portion de surface plane, limitée par un contour y, qui corresponde point par point du cercle c (n" 25 et 127).

Lorsque le point (Xjy) décrit la circonférence c dans le sens direct, le point (X, Y) décrit le contour y dans le sens direct ou dans le sens rétro-

364 CHAPITRE Vil. — INTÉGRALES MULTIPLES.

grade, suivant le signe du déterminant fonctionnel dans ce petit cercle. Or rintégrale définie le long de la petite circonférence est égale à la varia-

tion de arc tang^? et par suite à db 211. En raisonnant de même pour toutes

les racines, on en conclut que l'on a

XdY — \ d\

P désignant le nombre des points communs aux deux courbes pour

D(X Y) lesquels -^ — - — - est positif, et N le nombre des points communs pour

lesquels le déterminant est négatif. L'intégrale définie du premier membre est aussi égale à la variation de

arctang=T le long de C, c'est-à-dire à l'indice de la fonction =? lorsque le

point (a:, ^) décrit le contour C. Si les fonctions X, Y sont des polynômes, et si le contour G est formé d'arcs de courbes unicursales, on est ramené à calculer l'indice d'une ou plusieurs fonctions rationnelles, ce qui n'exige que des opérations élémentaires (n" 77). D'ailleurs, quelles que soient les fonctions X, Y, on peut toujours calculer l'intégrale définie (54) avec une erreur inférieure à ir, ce qui suffit, puisque le second membre doit être un multiple de air.

La formule (54) ne fait connaître le nombre exact des points communs aux deux courbes que si le déterminant fonctionnel conserve un signe constant à l'intérieur de C. Des travaux récents de M. Picard ont permis de compléter ce résultat fM.

155. Extension des résultats précédents. — Les résultats des derniers paragraphes s'étendent sans modification essentielle aux intégrales curvilignes dans l'espace

(55) U = / Fdx~Qdy-\-Kdz.

•^(■'"o-.ro.s»)

Nous désignerons par P, Q, R trois fonctions continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, dans une région (E) de l'espace, limitée par une seule surface fermée S. Cherchons d'abord les conditions pour que l'intégrale curviligne précédente ne dépende que des extrémités (xo, yoy Zo)j (x^y^ z) de la ligne d'intégration. Cela revient encore à chercher dans quels cas l'intégrale curviligne, prise le long d'une courbe fermée quelconque T, est nulle. Or, d'après la formule de Stokes (n® 136), cette intégrale curviligne est égale à l'intégrale de surface

( • ) Traité d'Analyse, t. 11.