II. — INTEGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

étendue à une surface Z limitée par le contour F. Pour que cette intégrale de surface soit nulle, quel que soit le contour F, il faut évidemment et il suffit que Ton ait

àP àq àPd^ ^^.

dy àx^ dz ~' dx^ dz ~' ày

Sî ces conditions sont remplies, U est une fonction des variables â?, y^ z, dont la différentielle totale est P cfar -h Q cf^ -+- R dz^ et qui est uniforme dans la région E de l'espace. Pour avoir la valeur de U en un point, on pourra choisir arbitrairement le chemin d'intégration.

Si les fonctions P, Q, R vérifient les relations (5G), mais deviennent infinies en tous les points d'une ou plusieurs lignes dans (E), on en déduit des conséquences analogues à celles qui ont été développées au n" 153.

Si, par exemple, Tune des fonctions P, Q, R devient infinie en tous les points d'une courbe fermée y» l'intégrale U admettra une période égale à la valeur de l'intégrale curviligne prise le long d'un contour fermé traversant une fois, et une seule fois, une surface (x limitée par la courbe y-

On peut aussi se proposer, pour les intégrales de surface, une question tout à fait pareille à celle qui a été traitée pour les intégrales curvilignes. Désignons par A, B, G trois fonctions continues, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, dans la région E de l'espace limitée par une seule surface fermée S. Soit 21 une surface prise dans E, et limitée par un contour de forme quelconque F. L'intégrale de surface

(57) I = f f Kdydz-\'Bdzdx-\'Cdxdy

dépend en général de la surface 21 elle-même, et non pas seulement du contour F. Pour que cette intégrale ne dépende que du contour F, il faudra que l'intégrale double étendue à une surface fermée quelconque prise dans E soit nulle. La condition pour qu'il en soit ainsi nous est donnée immédiatement par la formule de Green (nol49). Nous savons, en effet, que l'intégrale double précédente, étendue à une surface fermée, est égale à l'intégrale triple

IIKé^^^f^'^'^y''''

étendue au volume limité par cette surface. Pour que cette dernière intégrale soit nulle, quel que soit ce volume, il faut évidemment que les fonctions A, B, G vérifient la relation

,,« àk. dh dQ

(^^' ôx^é^-^Tz^-''^

et cette condition est suffisante.

La formule de Stokes en donne une vérification facile. En effet, étant données trois fonctions A, B, G vérifiant la relation (58), on peut, d'une

infinité de manières, déterminer trois autres fonctions P, Q, R, telles que Ton ail

^ ^^ dy âz ^ dz dx àx dy

D'abord, si ces équations admettent une solution, elles en admettent une infinité, car elles ne changent pas quand on remplace P, Q, R par

P-.^^. Q^f, R^J iix dy ôz

respectivement, X étant une fonction quelconque de x^ y y z. Cela étant, prenons R ~ o; on tire des deux premières relations (Sg )

P= / h{x,yyz)d3-i-^{x,y), Q^—j X(x, y, z)dz -h ^{x,y),

T(^»y) 6^ ^{'^yy) étant deux fonctions quelconques de x et de y. En portant ces valeurs dans la dernière équation (Sg), elle devient

ou, en tenant compte de la condition (58),

àà d9 ^. .

on peut encore choisir arbitrairement une des fonctions <p, i}/.

Ayant ainsi déterminé trois fonctions P, Q, R satisfaisant aux équations (59), l'intégrale de surface est égale, d'après la formule de Stokes, à rintégrale curviligne

f Vdx-^qdy-r^Kdz\

elle ne dépend donc que du contour T.