I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES
Pour démontrer la première partie, supposons que, pour toutes les valeurs de n supérieures à un nombre p, on ait P» logn > A: > i. Soit ]i un nombre tel que i < ]i < A*. La convergence de la série sera établie si, à partir d'un certain rang, on a
ce qui peut s'écrire
IH h^> (H-- IH i I
n n \ 71/ L iog/i J
ou, en appliquant la formule de Taylor au second membre,
n n \ nj \ log/i L *og/i J /
X/i restant inférieur en valeur absolue à un nombre fîxe lorsque n crott indéfiniment. Cette inégalité devient, en simplifiant,
, > X„(n + i)riog(i-f-i)l' p,log/»>,*(/n-i)log(i+-j+ ^l,— ^ -iJ-;
or le produit (n -h i) log ( i h — j a pour limite l'unité lorsque n augmente indéfiniment, car on peut l'écrire, d'après la formule de Taylor,
E tendant vers zéro. Le second membre de l'inégalité précédente a donc pour limite {x, et l'inégalité est assurée à partir d'un certain rang, puisque le premier membre est supérieur à un nombre A* > fi.
On démontre de même la seconde partie en comparant le rapport ^"*"' au rapport de deux termes consécutifs de la série dont le terme général
est — ; • L'inégalité
/ilog/i
peut s écrire
IH
ou
Un n -+- I log ( /l -h I )
n \ /!/ L *ûg/i J
P/*iog/i<(n -+-i)iogn-f- ^h
or le second membre tend vers l'unité par valeurs supérieures à l'unité, comme le montre la formule (lo). L'inégalité est donc assurée, à partir d'un certain rang, puisque le premier membre ne dépasse pas l'unité.
De la proposition précédente on déduit encore, comme corollaire, que, si le produit ^n^ogn tend vers une limite /, lorsque n croit indéGuiment, la série est convergente si / > i , et divergente si / < i. Il y a doute pour / = I, sauf dans le cas où le produit p;»log/i reste toujours inférieur à un; la série est alors divergente.
Lorsque ^/ilog/i tend vers l'unité en lui restant supérieur, on écrira de
même
Un+l I
n ' nlogn
*fn tendant vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. On aura des énoncés tout pareils aux précédents en considérant le produit Ynlog*n, et ainsi de suite.
Corollaire. — Lorsque, dans une série à termes positifs, le rapport d'un terme au précédent est de la forme
Un ~ n n^-^V-
[i étant un nombre positif, r étant constant, et la valeur absolue de fl^ restant inférieure à un nombre fixe lorsque n croit indéfiniment, la série est convergente si r est plus grand que un, et divergente dans tous les autres cas.
Si nous posons
on a, en effet,
Un
ni»-
r lin n /ii+!^
et par suite lim na^ = r. La série est donc convergente si r > i et divergente si r<i. Le seul cas douteux est celui où r=- 1. Pour lever l'ambiguïté, posons
Un
il vient
pnlog/i =
lo^/i n
og/i n\^
