I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES

163. Règle de Raabeet Duhamel. — En conservant les mêmes séries comme termes de comparaison, mais en comparant les rapports de deux termes consécutifs au lieu de comparer les termes eux-mêmes, on est conduit à de nouvelles règles, moins générales, îl est vrai, que les précédentes, mais qui sont souvent d'une application plus commode dans la pratique. Ainsi, soit

(7) Mo-i- "i-H WjH-. . .-h a^-t-.. .

une série à termes positifs dans laquelle le rapport — ^^ tend vers

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Tunité, en étant constamment inférieur à un. On peut l'écrire

Un i-f-a«'

a„ tendant vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. La comparaison de ce rapport avec ( ) conduit à la règle suivante,

obtenue d'abord par Raabe (*), puis par Duhamel {^) \

Si, à partir d^un certain rang, le produit noLnest constamment supérieur à un nombre fixe^ plus grand que un, la série est convergente. Si, à partir dhin certain rang, ce produit est constamment plus petit que un, la série est di{>ergente,

La seconde partie de la proposition est immédiate. Si, à partir d'un certain rang, on a /ia„<! i, on en déduit

et le rapport -^^ est supérieur au rapport de deux termes consécutifs de la série harmonique : la série est donc divergente.

Pour démontrer la première partie, supposons qu'à partir d'un certain rang on ait constamment /ia«I> A* > i. Soit [x un nombre compris entre i et /:, i <C. \t-<C /c', la convergence de la série sera

assurée si, à partir d'un certain rang, le rapport — ^^ est moindre que le rapport ( j de deux termes consécutifs de la série

(') Zeitschri/t fur Matheniatik und Physiky t. X; i83a. (*) Journal de LiouvillCy t. IV; i838.

dont le terme général est n"^. Il faut, pour cela, que l'on ait

ce qu'on peut écrire, en développant (n — J parla formule de Taylor limitée au terme en — >

"kn restant toujours moindre qu'un nombre fixe lorsque n augmente indéfiniment. Cette condition devient, en simplifiant,

or le premier membre a pour limite pi lorsque n croît indéfiniment. A partir d'une valeur de n assez grande, ce premier membre sera donc moindre que ncLn^ ce qui suffit pour démontrer l'inégalité (8) et par suite la convergence de la série.

Lorsque le produit noLn tend vers une limite l pour n infini, on peut appliquer la règle précédente. La série est convergente si /> I, et divergente si /<C i. H y a doute pour /= i, sauf dans le cas où nxn tend vers un en lui restant constamment inférieur; la série est alors divergente.

Lorsque le produit wa« a pour limite runité, on compare ""*"^ au rapport de deux termes consécutifs de la série

2(log2)l* '*' /i(log/i)l*

qui est convergente si jjl>i, et divergente si (ili. Écrivons le rapport de deux termes consécutifs

^n tendant vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. Si, à partir d'un certain rang, le produit p^logn est constamment supérieur à un nombre fixe plus grand que l'unité, la série est convergente. Si ce produit est constamment inférieur à l'unité, la série est divergente.