PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES

série (i4) se retrouve dans la série (i5) à une place quelconque, et qu'inversement chaque terme de la série (i5) se retrouve aussi dans la série (i 4), mais à un rang différent.

Soit S^j la somme des m premiers termes de la série (i5); puisque tous ces termes se retrouvent dans la série (14)9 îl est clair que l'on peut prendre un nombre n assez grand pour que les m premiers termes de la série (i5) fassent partie des n premiers termes de la série (i4)' O" a donc

ce qui prouve que la série (i5) est convergente et a une somme S'5S. Tout pareillement, on doit avoir S^S', et par suite S'= S. Le même raisonnement prouve que, si l'une des séries (i 4) et (i 5) est divergente, il en est de même de la seconde.

On peut aussi, dans une série convergente à termes positifs, grouper les termes ensemble d'une façon arbitraire, c'est-à-dire former une nouvelle série dont chaque terme soit égal à la somme d'un certain nombre de termes de la première, pris d'une façon quelconque, sans changer la somme de la série. Supposons d'abord que l'on groupe ensemble un certain nombre de termes consécutifs, et soit

(16) Ao-h Ai-h Aj-*-. ..H- A;»-!-. . .

la nouvelle série ainsi obtenue, où l'on a, par exemple,

Aj = dq^X ~4- • . . — |— Cï;-j • • • •

La somme S'^ des m premiers termes de la série (16) est égale à la somme Sj^des N premiers termes de la série proposée (N >► m). Lorsque m augmente indéfiniment, il en est de même de N et, par suite, S'„^ a aussi pour limite S.

En combinant les deux opérations précédentes on voit que, étant donnée une série convergente à termes positifs, on peut, sans changer la somme, la remplacer par une autre série dont chaque terme est formé par la somme d'un certain nombre de termes de la première pris dans un ordre quelconque. Il suffit que chaque terme de la première série entre dans un des groupes qui forment les termes de la seconde série et dans un seul.

Toute série absolument convergente pouvant être regardée

comme la différence de deux séries convergentes à termes positifs, les opérations précédentes sont encore légitimes pour une pareille série. On voit donc qu'une série absolument convergente peul ôtre, au point de vue du calcul numérique, traitée comme une somme d'un nombre fini de termes.

165. Séries semi-convergentes. — Une série à termes quelconques peut être convergente, sans que la série formée par les valeurs absolues de ses termes soit convergente. C'est ce que prouve très clairement le théorème sur les séries alternées dont je me borne à rappeler l'énoncé :

Une série à termes alternatwement positifs et négatifs est convergente si la valeur absolue de chaque terme est plus petite que la valeur absolue du terme précédent^ et si, en outre^ les termes décroissent indéfiniment en valeur absolue quand leur rang s^ éloigne indéfiniment.

Par exemple la série

est convergente; nous avons trouvé (n° 49) que la somme est égale à log2. La série formée par les valeurs absolues des termes, qui est la série harmonique, est divergente. Les séries convergentes, qui ne sont pas absolument convergentes, sont dites semiconvergentes. Les travaux de Cauchy, de Lejeune-Dirichlet et de Riemann ont bien montré la nécessité de distinguer entre les séries absolument convergentes et les séries semi-convergentes. Ainsi, dans une pareille série, on n'a pas le droit de changer l'ordre dans lequel les termes se succèdent ou de grouper ces termes d'une façon arbitraire \ ces opérations peuvent avoir pour résultat de modifier la somme de la série, ou même de changer une série convergente en une série divergente, et inversement. Reprenons, par exemple, la série convergente