I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES. SqS

dont la somme est évidemment la limite de l'expression

ii:=m

lorsque m augmente indéfiniment. Écrivons les termes de cette série dans un autre ordre, en faisant suivre chaque terme positif de deux termes négatifs,

a 4 3 6 8 a/iH-i 4'*^"*^ 4^-+-4

on démontre aisément, en considérant les sommes Ss/t, Ssn^f, San+Qï <I"C cette nouvelle série est convergente. Elle a pour somme la limite de l'expression

lorsque m augmente indéfiniment. Mais on a

et, par conséquent, la somme de la seconde série est égale à la moitié de la somme de la première.

D'une façon générale, étant donnée une série qui est convergente sans l*être absolument, on peut ranger les termes de celte série dans un ordre tel que la nouvelle séiie soit convergente et ait pour somme un nombre quelconque A donné à l'avance. Désignons par Sp la somme des p premiers termes positifs de cette série, par S'^ la somme des valeurs absolues des q premiers termes négatifs; la somme des p -{- q premiers termes est évidemment S;, — S'^. Lorsque les deux nombres/? et q augmentent indéfiniment, il doit en être de même des deux sommes S^ et S'^^, sans quoi la série serait divergente ou absolument convergente. D'autre part, la série étant convergente, le terme général doit tendre vers zéro.

Cela posé, nous formerons une nouvelle série ayant pour somme A de la manière suivante : Prenons les termes positifs de la série proposée dans Tordre où ils se présentent jusqu'à ce que leur somme soit supérieure à A ; écrivons à leur suite les premiers termes négatifs dans l'ordre où ils se présentent, et arrêtons-nous dès que la somme des termes écrits est inférieure à A; écrivons ensuite les termes positifs en commençant par le premier des termes négligés, et arrêtons-nous dès que la somme des termes écrits est supérieure à A, puis reprenons les termes négatifs, et ainsi de

suite. Il est visible que les sommes des termes de cette nouvelle série sont tantôt plus grandes et tantôt plus petites que A, mais qu'elles diffèrent de À d'une quantité qui décroit indéfiniment.

166. Règle d'Abel. — On doit à Abel un théorème permettant de reconnaître la convergence de certaines séries, qui échappent aux règles précédentes. La démonstration repose sur un lemme dont on s'est déjà servi (n* 75).

Soit

Mo -H Wi -f- . . . -4- Un. H- . . .

une série convergente ou indéterminée (c'est-à-dire telle que la somme des n premiers termes soit toujours moindre en valeur absolue qu'un nombre fixe A); soit, d'autre part,

une suite de nombres positifs, dont chacun est plus petit que le précédent et tels que \\mtn= o, pour /i =oo. Cela posé, la série

(17) ÊoMo-i- £iMi-+-. . .-h e;,Mrt-|- . . .

est convergente, sous les conditions énoncées.

Il résulte en eiïet des hypothèses que l'on a, quels que soient les nombres n et /?,

[ Un+i H- -+- Un^p [ < 2 A,

et, par suite, d'après le lemme rappelé tout à l'heure,

I M/i-Hi E/i^-i 4- ... -1- Ufi-i-p tji+p I <C îî A e„n ;

puisque e;i+i tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, on peut prendre n assez grand pour que la valeur absolue de la somme

soit moindre que tout nombre donné à l'avance, quel que soit p. La série (17) est donc convergente, en vertu du théorème général (n* 157). Lorsque la série Mq -h Wi -f-. . .h- «,»-{-.. . se réduit à la série

dont les termes, sont alternativement -h i et — i, la proposition précédente se réduit au théorème rappelé plus haut, concernant les séries alternées.

Voici un autre exemple. La série

sin 0 4- sin2Ô -t- sin36 H-. . .-h sin/i6 -h. . .

est convergente ou indéterminée. Lorsque sinô=o, la série a tous ses termes nuls; lorsque sinO^o, la somme des n premiers termes est égale,