Multiplication des séries. — Soient

(23) Uo-f- W| -4- Mj-h. . .-h- W;,-+-. . .,

(24) Co -H ('i -+- Pî -+- . . . -t- P« H- . . .

deux séries à termes quelconques. Multiplions de toutes les manières possibles un terme de la première série par un terme de la seconde, et groupons ensemble tous les produits mvj pour lesquels la somme f'+y des indices est la même; nous obtenons ainsi une nouvelle série

l Mo<'o^-(«ot'l-+- WiPo) H- (Mo^'î-H MjP|-t- f«îfo)H-. . . î -+- (Mo^'/lH- "l*'»-l-H- • •^- Wrt^^o) H-

Lorsque les deux séries (2<H) et (24) sont absolument convergentes, la série (a 5) est aussi convergente et a pour somme le produit des sommes des deux premières. Ce théorème, dû à Cauchy,

SqS chapitre VllI. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

a été généralisé par M. Mertens (*), qui a montré qu'il était encore vrai, pourvu qu'une seule des deux séries (aS) et (24) fût absolument convergente, la seconde pouvant être simplement convergente.

Supposons, pour fixer les idées, que la série (^3) soit absolument convergente, et soit (v„ le terme général de la série (26)

Pour démontrer la proposition, il suffit de faire voir que les deux différences

Wo-H wiH-. . .-H wt„ ~ (ao-h «1-+-. . .-f- a,i) (('o-^-*^!-*-- ••-^*'/i)»

tendent vers zéro, lorsque n croît indéfiniment. La démonstration étant la même dans les deux cas, considérons la première différence, que nous pouvons écrire, en ordonnant par rapport aux Wi,

8 = ao(ï'n-4-i4- ..-+- t'2«)-t- «l(«'rt-MH---.-+-<^ï»-l)-+-- ••-+- Wrt-lt'n+l

La série (^3) étant absolument convergente, la somme

Uo-r- Ui-h. . .H- Urt

reste inférieure, quel que soit n, à un nombre positif fixe A; de même, la série (24) étant convergente, le module de la somme ^^0+ ^< + • • • + ^« reste inférieur, quel que soit /?, à un nombre positif fixe B. Cela posé, e étant un nombre positif quelconque donné à l'avance, nous pouvons choisir un nombre positif m assez grand pour que l'on ait

quel que soit le nombre /?, pourvu que /i^m. Le nombre n étant choisi de cette façon, on aura une limite supérieure du module de 8 en remplaçant Wo, ii\^ Ma, . . , Wa/i par Uo, U|, . . . , Ua» respectivement, puis Vnjf.\ + ^/f+2 -h ... --h t^/i+p par j — rr et enfin

(*) Journal de CrellCy t. 79.