II. — SERIES A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES

est absolument convergente. Ainsi, lorsque dans une série le

module du rapport -^^ est, à partir d'un certain rang, plus petit

qu'un nombre fixe inférieur à l'unité, la série est absolument convergente. Soit en effet U/ =: | m/| ; si, à partir d'un certain rang, on

a constamment

Un

<; A:<[ I, on peut écrire cette inégalité <A:<i,

ce qui prouve que la série des modules

Uo -H Ui -h . . . -h Urt -H . . .

est convergente. Si le rapport — ^ tend vers une limite / lorsque n

croît indéfiniment, la série est convergente lorsque |/|<^i, et divergente lorsque | /| ^ i ; dans ce dernier cas, en effet, le module du terme général Un ne tend pas vers zéro, les deux séries (ao) et (21) ne peuvent être à la fois convergentes. Il y a doute si (/| = i.

D'une façon générale, soit o) la plus grande des limites de y^U» lorsque n augmente indéfiniment. La série (19) est absolument convergente si u) < i, et divergente si a>>i, car dans ce cas le module du terme général ne tend pas vers zéro (n® 161). II y a doute si (u = i; la série peut être absolument convergente, simplement convergente, ou divergente.