II. — SKRIËS A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES. 4oi

vergentes ainsi obtenues; la nouvelle série

est également convergente. En effet, considérons la somme des termes du tableau S^/^, tels que l'on ait t^/>, k^r. Cette somme est toujours moindre que S; si, laissant fixe le nombre /?, on fait croître indéfiniment le nombre r, elle a pour limite

On a donc toujours cto-I- J| -h . . . -h o'^<! S, et, comme cette somme va en croissant avec le nombre /?, on en conclut que la série (29) est convergente et a pour somme un nombre S^S. Inversement, si toutes les séries (28) sont convergentes, et si la nouvelle série (29) formée par les sommes des premières est convergente et a pour somme S, il est évident que la somme d'un nombre quelconque de termes du tableau (26) est inférieure à £. On a donc aussi S ^ S, et par suite 2 = 8.

Tout ce que nous venons de dire des séries obtenues en prenant des files horizontales s'applique évidemment aux séries obtenues en prenant des colonnes verticales. Pour avoir la somme d'une série double dont tous les éléments sont positifs, on peut l'évaluer soit par lignes, soit par colonnes, soit en prenant des courbes limites de forme quelconque. En particulier, si la série est convergente quand on fait la somme par lignes horizontales, il en sera de même quand on l'évaluera par colonnes, et la somme sera la même. On pourrait énoncer pour les séries doubles à termes positifs une suite de théorèmes analogues à ceux qui ont été établis pour les séries simples. Par exemple, si une série à double entrée, à termes positifs, a ses termes respectivement moindres que ceux d'une autre série double convergente, la première série est également convergente, etc.

Supposons maintenant que les éléments du tableau (26) aient des signes quelconques. Si la série double

4oa CHAPITKE VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

est convergente, il en sera de même de la série double

1=0 *=rO

Imaginons en effet deux tableaux à double entrée, T', T" analogues au tableau (26), que Ton obtiendrait en remplaçant aïk par aiA + |<^i;t|f puis par {a/A|* La somme d'un nombre quelconque de termes du tableau (26) est égale à la différence entre la somme des termes correspondants du tableau T' et la somme des termes correspondants du tableau T''. Or ces deux sommes tendent vers des limites déterminées, et indépendantes de la façon dont on fait croître indéfiniment le nombre des termes dont on calcule la somme, car les deux séries doubles à termes positifs

sont convergentes, la première par hypothèse, la seconde, comme ajant ses termes au plus égaux à ceux de la série S£2|a/A|. On dit que la série double (3o) est absolument convergente; on peut l'évaluer, soit par lignes, soit par colonnes, comme pour une série à termes positifs.

Enfin, lorsque les éléments du tableau (26) sont imaginaires, on peut évidemment le décomposer en deux tableaux en prenant d'une part les parties réelles, d'autre part les parties imaginaires. Si le tableau à double entrée obtenu en remplaçant chaque terme par son module donne naissance à une série double convergente, chacun des tableaux partiels donne naissance à une série double absolument convergente. La série double

est elle-même absolument convergente; d'après ce que l'on vient de voir, on peut évaluer la somme soit par lignes, soit par colonnes, soit de toute autre façon.

170. Une série double absolument convergente peut être remplacée par une série ordinaire formée des mêmes termes. Il suffit de montrer qu*on peut toujours numéroter les cases d'un échiquier indéfini tel que (26), de telle façon que chaque case ait un numéro déterminé, aucune d'elles n^étant