II. — SÉRIES A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES

oubliée. En d'autres termes, si l'on considère, d'une part la suite naturelle des nombres

(Sa) o, 1, a, ..., /i, ...,

d'autre part tous les systèmes de deux nombres entiers (i, k), où t'^o, A:^o, on peut, à chacun de ces systèmes, faire correspondre un des nombres de la suite (3*2) de façon qu'inversement à un nombre n ne corresponde qu'un seul de ces systèmes. Ecrivons, en effet, tous ces systèmes, les uns à la suite des autres, de la manière suivante

et, d'une façon générale, après avoir écrit tous les systèmes pour lesquels on a e-+-A:</i, écrivons tous les systèmes pour lesquels t-*-A: = /i, en commençant par le système (n, o) et faisant décroître i successivement d'une unité jusqu'à zéro. Il est clair que chaque système (/, k) n'en aura qu'un nombre Jlni avant lui et occupera par conséquent un rang déterminé dans la suite. Imaginons maintenant qu'on écrive les termes de la série double absolument convergente £2Ia/jtdans l'ordre que nous venons de définir; nous obtenons une série ordinaire

(33) ûfoo~+~ ût|o-4- ûToi -+- (iiQ-¥- ail ■+■ aojH"» • •-+- ^/io"+" ^/i— i,i-+~' • • >

dont les termes sont les mêmes que ceux de la série double considérée, qui est absolument convergente comme elle et a la même somme. Il est clair que ce mode de transformation n'est pas unique, puisqu'on peut permuter l'ordre des termes d'une façon arbitraire. Inversement, toute série ordinaire absolument convergente peut être, d'une infinité de manières, transformée en une série double, et ce procédé constitue un moyen puissant de démonstration pour certaines identités (<).

On voit que la notion de série à double entrée n'est pas distincte au fond de la notion ordinaire de série. Dans une série absolument convergente, on a vu plus haut qu'on pouvait remplacer un nombre fini de termes par leur somme effectuée, ou ranger les termes dans un ordre arbitraire. En cherchant à généraliser encore cette propriété, on est conduit tout naturellement à introduire les séries à double entrée.

171. Séries multiples. — La notion de série à double entrée est encore susceptible d'une grande extension. Tout d'abord, on peut considérer des séries dont chaque terme amn dépend de deux indices dont chacun peut varier de — oo à + c». On peut imaginer les termes de cette série disposés suivant les cases d'un échiquier rectangulaire indéfini dans tous les sens, et Ton voit que

(') Taxneuy, Introduction à la théorie des /onctions d'une variable, p. 67.

4o4 CHAPITRE VIII. - DEVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

la série à double entrée SSam» peut se partager en quatre séries doubles, telles que celles que nous avons étudiées jusqu'ici. Une extension plus importante est la suivante. Considérons une série

dont chaque terme ^ni,.w, m dépend de p indices m^j m^^ . . .,

m^, pouvant varier de o à -t-oo, ou de — oo à 4-00, ces indices pouvant d^ailleurs être assujettis à vérifier certaines inégalités. Quoiqu'on ne puisse plus se servir d'une représentation géométrique analogue à la précédente dès qu'il ja plus de trois indices, un peu de réflexion suffit pour montrer que les propositions établies pour les séries doubles s'étendent sans difficulté aux séries multiples d'ordre p.

Supposons d'abord que tous les termes «;„„;„„...,« soient réels et positifs. Imaginons que l'on prenne la somme d'un certain nombre de termes de cette série, que Ton ajoute ensuite à cette somme la somme d'un certain nombre de termes négligés, et ainsi de suite, de telle sorte qu'un terme quelconque de la série figure dans toutes les sommes successives au bout d'un certain nombre d'opérations. Soient Sj, S2, • » ••, S,^, . . . les sommes successives ainsi obtenues; si S» tend vers une limite S lorsque n augmente indéfiniment, la série est convergente et a pour somme S ; comme dans le cas de deux indices, cette limite S est indépendante de la façon dont on fait croître le nombre des termes ajoutés. Si les termes ont des signes quelconques ou sont imaginaires, la série est encore convergente pourvu que la série formée parles modules soit convergente.

172. Généralisation du théorème de Cauchy. — On peut souvent décider de la convergence ou de la divergence d'une série multiple, au moyen du théorème suivant, qui est la généralisation du théorème de Cauchy (n° 161). Soit/(^, y) une fonction des deux variables x et j^, qui est positive pour tous les points {^y y) extérieurs à une certaine courbe fermée F, et telle quey*(x, y) diminue lorsque le point (^, y) s'éloigne de l'origine. Considérons, d'une

part, l'intégrale double / \ /{^t y)dx dy^ étendue à la couronne

comprise entre la courbe F et une autre courbe extérieure G qui grandit indéfiniment; d'autre part, la série à double entrée 22/(771, 72), où l'on attribue aux indices 771, n toutes les valeurs