Région de convergence. — Considérons d*abord une série

(i) Ao-H A,X-h A,X*-^...-T- A^X^-i-...

où tous les coefficients Aq, A|, A2, . . ., sont positifs, et où l'on n'attribue à la variable indépendante X que des valeurs positives. Il est clair que tous les termes de cette série vont en croissant avec X; si la série est convergente pour une valeur particulière X = Xi , elle est a fortiori convergente pour toute valeur de X inférieure à X|. De même, si la série est divergente pour la valeur Xa, elle est certainement divergente pour toute valeur de X supérieure à Xj. Cela posé, plusieurs cas peuvent se présenter : 1** Il peut se faire que la série (i) soit convergente, quelle que soit la valeur de la variable X ; telle est la série

1^ Il peut aussi arriver que la série (i) soit toujours divergente, quel que soit X, sauf pour X = o ; telle est la série

420 CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOllÉTRIQUES.

3** Supposons enfin que la série proposée soit tantôt conver- • gente, tantôt divergente. Soient X| une valeur de X rendant la série convergente, et Xj une valeur de X rendant la série divergente. D'après la remarque de tout à Pheure, on a X| <! Xa, la série est convergente si X<cX|, et divergente si X>X2. Il n'y a doute que pour les valeurs de X comprises entre X| et X2. Mais toutes les valeurs de X qui rendent la série convergente sont inférieures à X2; soit Rieur limite supérieure. Comme toutes les valeurs de X qui rendent la série divergente sont supérieures à l'une quelconque des valeurs de X qui rendent la série convergente, ce nombre R est aussi la limite inférieure des valeurs de X qui rendent la série divergente. La série (i) est donc convergente pour toutes les valeurs positwes de X inférieures à R, et divergente pour toutes les valeurs de X supérieures à R. Pour X =r R, la série peut être convergente ou divergente.

Ainsi, la série

est convergente si X <[ i , et divergente si X ^ i ; on a R = 1 .

Remarquons que le dernier cas examiné renferme les deux autres comme cas limites ; on les obtient en supposant R infini, ou R = o.

Considérons maintenant une série entière

(2) «0-+- ûtia? -h a^ar^-f-. . .-f- ana?'»-^-. . .

où les coefficients a/ et la variable x peuvent avoir des signes quelconques. Nous poserons dorénavant A/= |ai|, X=[x[, de façon que la série (i) sera formée par les valeurs absolues des termes de la série (2). Soit R le nombre qui vient d'être défini pour cette série (i); il est évident que la série (2) est absolument convergente pour toute valeur de x comprise entre — R et -f- R, d'après la définition même du nombre R. Il nous reste à montrer que la série (2) est divergente lorsque la valeur absolue de x est supérieure à R. C'est ce qui résulte de la proposition fondamentaie d'Abel (*) : Si la série (2) est convergente pour une valeur particulière Xq, elle est absolument convergente pour toute valeur de x, dont la valeur absolue est inférieure à \x^\.

^ . . ... m mim — i) . ( ' ) Recherche sur la série iH a? H x^-\-