I. — SBR1K8 ENTIÈRES A UNE VARIABLE
En effet, la série (2) étant supposée convergente pour x = a:©, désignons par M un nombre positif supérieur au module de Tun quelconque des termes de cette série, de telle sorte que Ton ait, quel que soit le nombre n,
Nous pouvons écrira
la série (i) est donc convergente si l'on suppose X <C \xq\^ ce qui démontre la proposition énoncée.
Cela posé, si la série (2) est convergente pour x = Xo^ on voit que la série des modules (i) sera convergente pourvu que X soit inférieur à |a:o|. On ne peut donc avoir |^o| > Rj car alors le nombre R ne serait pas la limite supérieure des valeurs de X qui rendent convergente la série (i).
En résumé, étant donnée une série entière (2) où les coefïicients ont des signes quelconques, il existe un nombre positif R possédant la propriété suivante : la série (2) est absolument convergente pour toute valeur de x comprise entre — R e^ 4- R, et divergente pour toute valeur de x supérieure à^en valeur absolue. L'intervalle ( — R, -h R) s'appellera la région de convergence; cette région s'étend de — 00 à -+- 00 dans le cas limite où R est iniini. Elle se réduit à l'origine si R = o; nous laisserons de côté, dans la suite, ce cas particulier.
La démonstration ne nous apprend rien sur ce qui arrive pour les valeurs limites j? = R, a: = — R. La série (2) peut être absolument convergente, simplement convergente, ou divergente.
Considérons, par exemple, les trois séries
on a, pour ces trois séries, R = i, car le rapport d'un terme au précédent a pour limite x, La première série est divergente pour x= ±\y la deuxième est divergente pour 0:= i et convergente
il^ CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOUÉTRIQUES.
pour j? = — i; la troisième est a])soIument convergente pour
jr=^ =!z I.
Remarque, — L'énoncé de la proposition d'Abel peut être généralisé; il suffit, en effet, pour la suite du raisonnement, de supposer que la valeur absolue d'un terme quelconque de la série
reste inférieure à un nombre fixe. Lorsqu'il en est ainsi, la série (2) est absolument convergente pour toute valeur de la variable dont la valeur absolue est inférieure à I^ToI.
Le nombre R est lié par une relation très simple au nombre eu défini plus haut (n° 160), qui est la plus grande des limites des termes de la suite
En effet, si Ton considère la suite analogue
AiX, v^A2X*, ..., i/A/^X", ...,
il est clair que la plus grande des limites des termes de cette suite sera eaX. La suite (1) est donc convergente, si Ton a X < — i et divergente si X > -;
par conséquent R = — (i).
178. Continuité d'une série entière. — Désignons par f{x) la somme d'une série entière convergente dans l'intervalle de — R à-l-R,
(3) /(a?) — ao-f- aiar-h. . . 4- a,i^'*-f-. . .
et soit R' un nombre positif inférieur à R. Nous allons d'abord montrer que la série (3) est uniformément convergente dans l'intervalle de — R' à + R'. En effet, pour une valeur de x^ moindre que R' en valeur absolue, le reste R,i
est inférieur en valeur absolue au reste correspondant de la
(') Ce théorème a été démontré par Cauchy dans son Cours d'Analyse; il a été retrouvé par M. Hadamard dans sa Thèse.
