Substitution d'une série dans une autre série. — Soit

une série ordonnée suivant les puissances d'une variable y^ el convergente pourvu que l'on ait |y | < R. Soit, d'autre pari,

une autre série convergente dans Tinlervalle de — r ^ -\- r. Imaginons qu'on remplace, dans la série (i5), j^,^^, j^^, . . . par leurs développements en séries ordonnées suivant les puissances de x^ déduits de la formule (i6); nous obtenons de cette façon uu tableau à double entrée

-\- a\hxx -^'ia<ihiihxx -\-, , .-^ nanh^'^ b\X -^

-h aib^x'^-\- a^ibl -h 7.bobi)x^

et nous allons chercher si ce tableau à double entrée peut être absolument convergent. 11 faut d'abord que la série obtenue en prenant les termes de la première ligne, c'est-à-dire

«y -H ai 6o -^ «2 b^ -H .-. . ,

soit absolument convergente, ou que l'on ait |6o|<R' Cette condition est suffisante. En effet, si elle est remplie, on peut prendre pour fonction majorante de f{^) une expression de la