I. — SÉRIES ENTIERES A UNE VARIABLE

est donc une fonction majorante pour f{x)\ c'est celle dont on se sert le plus souvent. Lorsque la série /(ar) ne présente pas de terme constant, on peut de même prendre pour fonction majorante la fonction

On peut prendre pour r un nombre quelconque inférieur à R, et il est clair que le nombre correspondant M diminue en général avec r, mais ne peut jamais être inférieur à Âo, si Âq n'est pas nul. Lorsqu'il en est ainsi, on peut toujours trouver un nombre

positif p <; R, tel que la fonction — — soit majorante pour f{x).

P En effet, soit

M-+-M — hM-r -+-...-+-M h...,

OÙ M>> Ao, une première fonction majorante. Prenons un nombre p

inférieur k r -=-; on peut écrire, en supposant /i ^ i ,

et par suite l^/ip"! <! A©; d'ailleurs, on a |ao| = Ao. La série

Aq-H Ao h Ao — r H-. . .-f- Ao — - -f-. . .

est donc majorante pour f{x)\ cette propriété nous servira tout à l'heure. Plus généralement, on peut prendre pour M un nombre quelconque supérieur ou au moins égal à Aq.

On verra de la même façon que, dans le cas où ^0= o, on peut prendre pour fonction majorante une expression de la forme

où p. est un nombre positif arbitraire.

Remarque, — La connaissance d'une progression géométrique décroissante comme fonction majorante permet aussi de se rendre compte de G. 28

rapproximation obtenue quand on remplace la somme f{x) de la série

par la somme des n -h i premiers termes. Si la série est majorante

Su

pour /{x)j il est évident que le reste de la série proposée

est moindre en valeur absolue que le reste correspondant de la série

c'est-à-dire que M