I. — SERIES ENTIÉRRS A UNE VARIABLE

Cas particuliers* — i** Le nombre R' qui figure dans l'inégalité (19) pouvant être supposé aussi voisin de R qu'on le veut, il s'ensuit que la formule (20) s'applique pourvu que l'on

ait |a;| <; pf I — -^ )• Cela posé, si la série (i5) est convergente,

quel que soit y^ on peut supposer R infini, et p aussi voisin de r qu'on le voudra. La formule (20) sera donc applicable pourvu que l'on ait |a;| < r, c'est-à-dire dans le même intervalle que la formule (16). En particulier, si la série ^{x) est convergente quel que soit X, comme f{y)y on peut aussi supposer r infini, et la formule (20) subsiste quel que soit x,

2° Lorsque le terme constant 6© de la série (16) est nul, on peut prendre comme fonction majorante de ^{x) une expression de la forme

oii p <C! ^7 '^ pouvant être quelconque. En raisonnant comme dans le cas général, on démontrera que la formule (20) est applicable, pourvu que l'on ait

(22) I^Kpj^

R' étant aussi voisin de R qu'on le voudra. L'intervalle fourni par cette dernière inégalité est plus étendu que celui qui est donné par la condition générale (19)*

Ce cas particulier se présente fréquemment dans la pratique. L'inégalité |èo|<!Rest alors satisfaite d'elle-même, et le coefficient Ca ne dépend que de ao, a\^ • • • ? ^/d &o? ^i» • • • 7 ^//*

Co = «0» <?i=ûti6i, Cj = ai 6j-+- «2 6J, ..., C/j = ai ôfl -+-. . .-H a/,6f.

Exemples, — 1° Cauchy a montré qu'on pouvait déduire la formule du binôme du développement de log(n-a?). On peut écrire en effet

(i-l-ar)l*= cl*»o»Ci-HJ^) = er = f-t- Z 4- Z- l.. . .

en posant

( X x^ x^ x^ \ j^ = |ilog(n-a:) = fx^- - + ^-. ...j,

ce qui donne, en substituant le second développement dans le premier,

, fx x^ a?' \ u' (x a?' ar' \*

Il est clair qu'en ordonnant le second membre suivant les puissances de Xy on obtient pour coefficient de x^ un polynôme de degré n en {x, soit Pn(|i). Ce polynôme doit s'annuler pour fx = o, i, a, . . ., n — i et se réduire à l'unité pour (i = n, ce qui suffît à le déterminer

(^^> ^^- rï7../i

2* Soit z = (i-f-a:)-^, x étant compris entre — i et M-i. On peut écrire

en posant

I , . X x^ a?" y = -log(i -hx) = 1 h-= ,..-{- ( — i)« h

Le premier développement est valable quel que soit j^; le second n'est valable que si |ar| < i. La formule obtenue en substituant le second développement dans le premier s'appliquera donc aux valeurs de x comprises entre — i et -i-i.

En se bornant aux deux premiers termes, on a

(24) (H-ir)-^= e ( i-f-i H H. . .H h... ) -h...

Lorsque x tend vers zéro par valeurs positives, (i-i-a:)^ tend donc vers e en croissant.

183. Division des séries entières. — Considérons d^abord Tinverse d'uDC série entière commençant par Tunité

et convergente dans l'intervalle ( — r, -f- r). Posons

y = bix -{- b%x^-\-. , .^

on peut écrire

et, en substituant le premier développement dans le second, on