I. — SERIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

obtient pourf^x) un développement en série entière

(25) f(x) = 1^ bix-^ (b\ — bi)x^-h.. .

qui est valable dans un certain intervalle.

On développerait de même l'inverse d'une série entière quelconque commençant par un terme constant diflférent de zéro.

Soit maintenant à développer le quotient de deux séries entières

convergentes

ç(ir) __ aQ-h aiT-^ a^x^-h. . .

^{x) ~" ùo-^ bix -^ biX^-^.. .

Si bo n'est pas nul, on peut écrire

{-7-^ = (ao-^aiX-\-aiX^-{-.. .) x

"^(x) '"' bo-^ bix -\- bfX^-\-.. .

et, d'après le cas que nous venons de traiter, le second membre est le produit de deux séries entières convergentes; le quotient peut donc se mettre sous forme d'une série entière convergente pour des valeurs de x voisines de zéro

(a6) -^ ,' , — . — -— = Cq-\-CiX-^ CiX^-^. ..

bo-^ byx -^ biX^-h, , ,

En chassant le dénominateur et égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, on obtient les relations suivantes

(•27) an^= boCn-^- biCn-\-^ * • '-h bfiCo (n = O, I, 2, . . . ),

qui déterminent de proche en proche les coefficients Co, c,, ... c„. On remarquera que ces coefficients sont précisément ceux que l'on obtiendrait en effectuant la division des deux séries par la règle ordinaire de la division de deux polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de x.

Lorsque 60= o, le résultat est différent. Supposons, pour plus de généralité, J'(.'ï^) ^^ x^^i (x), k étant un nombre entier positif, et A| (:r) désignant une série entière où le terme constant est différent de zéro.

On peut écrire

44o CHAPITRE IX. — - SÉRIES ENTIÈRES. SERIES TRIGONOMÉTRIQUES.

et, d'après ce qu'on vient de voir, on a

V— — r = Co -h Cl ar H- . . . -f- Cjk-i 07*-! -h Cjfc r* -h C;t-*-l ^*'*'* -+-....

On en déduit

le quotient est donc égal à la somme d'une fraction rationnelle qui devient infinie pour x = o, et d'une série entière qui est convergente dans un certain intervalle autour de l'origine.

Remarque. — Pour calculer les puissances successives d'une série entière, il est avantageux dans la pratique d*opérer comme il suit. Si dans l'identité

(ao-+-aiar-+-. . .4- a,ia7«-i-. . .)"*= Co-i- Cl J? -h. . .-h C/iar^-H. . .

on prend les dérivées logarithmiques des deux membres et qu'on chasse les dénominateurs, on parvient à une nouvelle identité

{ m(ai-h2aja7-4-. . .H- nanX'^-^ -\- . . .)(co-i-Cia?-+-. . . + Crtar'»-+-. . .) ( =(ao-l-aia7-+-. . .-Ha„a?«-+-. . .)(ci-i-2CjiF-!-. . .-i-/ic«ir«-*-h...)

Il est facile de former les coeffîcients des diverses puissances de x dans les deux membres, et, en égalant les coeffîcients des mêmes puissances, on a une suite de relations qui déterminent de proche en proche C], C2, . . . ) C/t, . . . , connaissant Cq. Or on a évidemment Co = a^,